Как привести к каноническому виду уравнение
Когда ставится вопрос о приведении уравнения косой к каноническому виду то, как водится, имеются в виду кривые второго порядка. Это эллипс, парабола и гипербола. Примитивный метод их записи (канонический) классен тем, что тут дозволено сразу определиться с тем, о какой косой идет речь. Следственно становится востребованной задача приведения уравнений второго порядка к каноническому виду.
Инструкция
1. Уравнение плоской косой второго порядка имеет вид: A?x^2 + B?x?y + C?y^2 + 2D?x + 2E?y + F = 0. (1)При этом показатели A, B и С не равны нулю единовременно. Если В=0, то каждый толк задачи приведения к каноническому виду сводится к параллельному переносу системы координат. Алгебраически – это выделение полных квадратов в начальном уравнении.
2. При В не равном нулю каноническое уравнение дозволено получить лишь при подстановках, реально обозначающих поворот системы координат. Разглядите геометрический метод (см. рис. 1). Иллюстрация на рис. 1 дозволяет заключить, что x=u?cos? – v?sin?, y=u?sin?+v?cos?.
3. Последующие подробные и массивные выкладки опущены. В новых координатах v0u требуется иметь показатель всеобщего уравнения косой второго порядка B1=0, что достигается выбором угла ?. Сделайте это на основе равенства: 2B?cos2?=(A-C)?sin2?.
4. Последующее решение комфортнее проводить на определенном примере.Пример. Преобразовать к каноническому виду уравнение x^2+x?y+y^2-3?x-6y+3=0.Решение. Выпишите значения показателей уравнения (1): A=1, 2B=1, C=1, 2D=-3, 2E=-6, F=3.Обнаружьте угол поворота ?. Тут cos2?=0 и следственно sin?=1/?2, cos?=1/?2.Запишите формулы реформирования координат: x=(1/?2)?u-(1/?2)?v, y=(1/?2)?u+(1/?2)?v.
5. Подставьте последнее в условие задачи. Получите: [(1/?2)?u-(1/?2)?v]^2+[(1/?2)?u-(1/?2)?v]?[(1/?2)?u+ (1/?2)?v]+[(1/?2)?u+(1/?2)?v]^2-3?[(1/?2)u-(1/?2)?v]-6?[(1/?2)?u+(1/?2)?v]+ +3=0, откуда 3u^2+v^2-9?2?u+3?2?v+6=0.
6. Для параллельного переноса системы координат u0v, выделите полные квадраты и получите3(u-3/?2)^2-27/2+(v+3/?2)^2-9/2+6=0. Обозначьте X=u-3/?2, Y=v+3/?2. В новых координатах уравнение имеет вид 3X^2+Y^2=12 либо X^2/(2^2)+Y^2/((2?3)^2). Это эллипс.
