Как обнаружить площадь криволинейной трапеции
Криволинейная трапеция представляет собой фигуру, ограниченную графиком неотрицательной и постоянной функции f на интервале [a; b], осью OX и прямыми x=a и x=b. Для вычисления ее площади используйте формулу: S=F(b)–F(a), где F – первообразная для f.
Вам понадобится
- – карандаш;
- – ручка;
- – линейка.
Инструкция
1. Вам нужно определить площадь криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции f(x). Обнаружьте первообразную F для заданной функции f. Постройте криволинейную трапецию.
2. Обнаружьте несколько контрольных точек для функции f, вычислите координаты пересечения графика данной функции с осью OX, если они имеются. Изобразите графически другие заданные линии. Заштрихуйте желанную фигуру. Обнаружьте x=a и x=b. Вычислите площадь криволинейной трапеции , применяя формулу S=F(b)–F(a).
3. Пример I. Определите площадь криволинейной трапеции , ограниченной линией y=3x-x?. Обнаружьте первообразную для функции y=3x-x?. Это будет F(x)=3/2x?-1/3x?. Функция y=3x-x? представляет собой параболу. Ее ветви направлены вниз. Обнаружьте точки пересечения данной косой с осью OX.
4. Из уравнения: 3x-x?=0, следует, что x=0 и x=3. Желанные точки – (0; 0) и (0; 3). Следственно, a=0, b=3. Обнаружьте еще несколько контрольных точек и изобразите график данной функции. Вычислите площадь заданной фигуры по формуле: S=F(b)–F(a)=F(3)–F(0)=27/2–27/3–0+0=13,5–9=4,5.
5. Пример II. Определите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x? и y=4x. Обнаружьте первообразные для данных функций. Это будет F(x)=1/3x? для функции y=x? и G(x)=2x? для функции y=4x. С поддержкой системы уравнений обнаружьте координаты точек пересечений параболы y=x? и линейной функции y=4x. Таких точек две: (0;0) и (4;16).
6. Обнаружьте контрольные точки и изобразите графики заданных функций. Легко подметить, что желанная площадь равна разности 2-х фигур: треугольника, образованного прямыми y=4x,y=0, x=0 и x=16 и криволинейной трапеции , ограниченной линиями y=x?, y=0, x=0 и x=16.
7. Вычислите площади данных фигур по формуле: S?=G(b)–G(a)=G(4)–G(0)=32–0=32 и S?=F(b)–F(a)=F(4)–F(0)=64/3–0=64/3. Выходит, площадь желанной фигуры S равна S?–S? =32–64/3=32/3.
