Совет 1: Как решать уравнения с кубом

Для решения кубических уравнений разработано несколько математических способов. Зачастую применяется способ подстановки либо замены куба вспомогательной переменной, а также ряд итерационных способов, в частности, способ Ньютона. Но классическое решение кубического уравнения выражается в использовании формул Виета и Кардано. Способ Виета-Кардано основан на применении формулы куба суммы показателей и применим для всякого вида кубического уравнения . Для поиска корней уравнения его запись нужно представить в виде: x³+a*x²+b*x+c=0, где a – не нулевое число.

Инструкция

1. Запишите начальное кубическое уравнение в виде: x³+a*x²+b*x+c=0. Для этого все показатели уравнения поделите на 1-й показатель при множителе x³, так дабы он стал равен единице.

2. Исходя из алгорифма способа Виета-Кардано, вычислите значения R и Q по соответствующим формулам: Q =(a²-3b)/9, R=(2a³-9ab+27c)/54. Причем показатели a, b и с являются показателями приведенного уравнения .

3. Сравните полученные значения R и Q. Если правильно выражение Q³ >R² , следственно, в начальном уравнении присутствуют 3 действительных корня. Вычислите их по формулам Виета.



4. При значениях Q³ <= R² , в решении находится один действительный корень х1 и два комплексно-сопряженных корня. Для их определения надобно обнаружить промежуточные значения А и В. Вычислите их по формулам Кардано.



5. Обнаружьте 1-й действительный корень по формуле x1=(B + A) – a/3. При разных значениях А и В определите комплексно-сопряженных корни кубического уравнения по соответствующим формулам.



6. Если значения А и В получились равными, то сопряженные корни вырождаются во 2-й действительный корень начального уравнения . Это тот случай, когда действительных корня получается два. Вычислите 2-й действительный корень по формуле x2=-A-a/3.

Совет 2: Как решать уравнения

Решение уравнений – то, без чего невозможно обойтись в физике, математике, химии. Как минимум. Учимся основам их решения.

Инструкция

1. В самой всеобщей и примитивный систематизации уравнения дозволено поделить по числу переменных, в них содержащихся, и по степеням, в которых эти переменные стоят.Решить уравнение значит обнаружить все его корни либо подтвердить, что их нет.Всякое уравнений имеет не больше P корней, где P – максимальная степень данного уравнения.Но часть этих корней может и совпадать. Так, скажем, уравнение х^2+2*x+1=0, где ^ – значок возведения в степень, сворачивается в квадрат выражения (х+1), то есть в произведение 2-х идентичных скобок, вся из которых даёт х=-1 в качестве решения.

2. Если в уравнении каждого одна незнакомая, это значит, что вам удастся в очевидном виде обнаружить его корни (действительные либо комплексные).Для этого скорей каждого потребуются, разные реформирования: формулы сокращённого умножения, формула вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения, перенос слагаемых из одной части в иную, приведение к всеобщему знаменателю, умножение обоих частей уравнения на одно и тоже выражение, возведение в квадрат и другое.Реформирования, не влияющие на корни уравнения, именуются тождественными. Они применяются для облегчения процесса решения уравнения.Также вы можете взамен традиционного аналитического воспользоваться графическим способом и записать данное уравнение в виде функции, проведя после этого её изыскание.

3. Если в уравнении незнакомых огромнее одной, то вам удастся лишь выразить одну из них через иную, показав тем самым комплект решений. Таковы, скажем, уравнения с параметрами, в которых присутствует неведомая x и параметр а. Решить параметрическое уравнение – значит для всех а выразить х через а, то есть разглядеть все допустимые случаи.Если в уравнении стоят производные либо дифференциалы незнакомых (смотри картинку), поздравляю, это дифференциальное уравнение, и здесь вам не обойтись без высшей математики).

Совет 3: Как решать кубические уравнения

На сегодняшний день миру знаменито несколько методов решения кубического уравнения. Самыми знаменитыми считаются формула Кардана и тригонометрическая формула Виета. Впрочем, эти способы довольно трудны и на практике примерно не используются. Ниже приведен особенно легкой метод решения кубического уравнения.

Инструкция

1. Выходит, для того дабы решить кубическое уравнение вида Ах?+Вх?+Сх+D=0, нужно способом подбора обнаружить один из корней уравнения. Корнем кубического уравнения неизменно является один из делителей свободного члена уравнения. Таким образом, на первом этапе решения уравнения, надобно обнаружить все целые числа, на которые вольный член D делится без остатка.

2. Полученные целые числа поочередно подставляются в кубическое уравнение взамен незнакомой переменной x. То число, которое обращает равенство в правильное, является корнем уравнения.

3. Один из корней уравнения обнаружен. Для последующего решения следует применить способ деления многочлена на двучлен. Многочлен Ах?+Вх?+Сх+D – является делимым, а двучлен х-х?, где х?, – 1-й корень уравнения – делителем. Итогом деления будет являться квадратный многочлен вида ах?+bx+с.

4. Если приравнять полученный многочлен к нулю ах?+bx+с =0, получится квадратное уравнение, корни которого и будут являться решением начального кубического уравнения, т.е. x?‚?=(-b±?(b^2-4ac))/2a

Обратите внимание!
При выполнении первого этапа решения уравнения, а именно, нахождению корня уравнения способом подбора, не следует забывать о целых негативных числах, которые также могут являться решением уравнения.

Совет 4: Как решить математические уравнения

Решить уравнение ? значит обнаружить все незнакомые, при которых оно обращается в правильное числовое равенство. Дабы решить математическое уравнение с модулями, нужно знать определение модуля. Знак модуля дозволено примитивно убрать, если подмодульное выражение правильно. Если выражение под модулем негативно, он раскрывается со знаком «минус». Это обозначает, что модуль – неизменно позитивная величина.

Инструкция

1. Испробуйте избавиться от модулей в уравнении, базируясь непринужденно на определении модуля. Разглядите два случая, сопоставляя подмодульное выражение с нулем. Всякий из вариантов представьте в виде системы, содержащей условие, выраженное неравенством, и уравнение с раскрытым соответственно условию модулем. Всеобщее решение оформите в виде общности полученных систем.

2. Пускай, скажем, дано уравнение |f(x)| – k(x) = 0. Дабы раскрыть модуль |f(x)|, нужно разглядеть два случая: f(x) ? 0 и f(x) ? 0. При выполнении первого данные |f(x)|=f(x), соблюдение же второго данные дает |f(x)|= -f(x). Выходит, получается общность 2-х систем:f(x) ? 0,f(x) – k(x) = 0;f(x) ? 0,- f(x) – k(x) = 0.Решив обе эти системы и объединив полученные итоги, получите результат. Кстати, решения систем могут пересекаться, это нужно рассматривать при записи результата, дабы не дублировать значения x, удовлетворяющие уравнению.

3. Теоретически, применяя указанный выше метод, дозволено решить всякое уравнение с модулями. Но если под модулями записаны примитивные выражения, уместно решать уравнение больше коротким путем. Нарисуйте числовую прямую. Подметьте на ней все «нули» подмодульных выражений. Для нахождения «нулей» всякое из подмодульных выражений приравняйте нулю и для всего из получившихся уравнений обнаружьте x.

4. Так вы получите числовую прямую с подмеченными на ней точками. Они разбивают ее на несколько отрезков и лучей, на всем из которых все выражения, стоящие под знаком модуля, непрерывны по знаку. Сейчас, определяя данный знак для всего из подмодульных выражений, нужно раскрыть модули.

5. Дабы определить знак выражения, подставьте в него взамен x всякую точку из заданного интервала, не совпадающую ни с одним из его концов. Дальше осталось решить получившееся уравнение и предпочесть те значения x, которые удовлетворяют рассматриваемому интервалу.

6. Пример: |x – 5| = 10.Подмодульное выражение обращается в нуль при x = 5. На числовой прямой дозволено дугами подметить лучи (-?;5] и [5;+?). На левом луче модуль раскрывается со знаком «минус», на правом ? со знаком «плюс». Таким образом,x ? 5,- x + 5 = 10;x ? 5,x – 5 = 10.

7. Уравнение -x + 5 = 10 имеет своим решением x = -5. Это число подпадает под интервал x ? 5, следственно x = -5 пойдет в результат. Решение уравнения x – 5 = 10: x = 15. Число 15 удовлетворяет неравенству x ? 5, следственно x = 15 тоже идет в результат. В конце решения нужно записать результат: x = -5, x = 15.

Видео по теме