Как определить точки обрыва функции
Дабы определить точку обрыва функции, нужно изучать ее на непрерывность. Это представление, в свою очередь, связано с нахождением левостороннего и правостороннего пределов в этой точке.
Инструкция
1. Точка обрыва на графике функции появляется тогда, когда в ней нарушается непрерывность функции. Для того, дабы функция была постоянной, нужно и довольно, дабы его левосторонний и правосторонний пределы в этой точке были равны между собой и совпадали со значением самой функции.
2. Существует два типа точек обрыва – первого и второго рода. В свою очередь, точки обрыва первого рода бывают устранимые и неустранимые. Устранимый обрыв возникает, когда односторонние пределы равны между собой, но не совпадают со значением функции в этой точке.
3. И наоборот, он является неустранимым, когда пределы не равны между собой. В этом случае точка обрыва первого рода именуется прыжком. Обрыв второго рода характеризуется безмерным либо не присутствующим значением как минимум одного из односторонних пределов.
4. Дабы изучать функцию на точки обрыва и определить их род, поделите задачу на несколько этапов: обнаружьте область определения функции, определите пределы функции слева и справа, сравните их значения со значением функции, определите тип и род обрыва.
5. Пример.Обнаружьте точки обрыва функции f(x) = (x² – 25)/(x – 5) и определите их тип.
6. Решение.1. Найдите область определения функции. Видимо, что уйма ее значений безгранично за исключением точки x_0 = 5, т.е. x ∈ (-?; 5) ∪ (5; +?). Следственно, точкой обрыва ориентировочно может быть только она;2. Вычислите односторонние пределы. Начальную функцию дозволено упростить до вида f(x) -> g(x) = (x + 5). Несложно увидеть, что эта функция постоянна при любом значении x, следственно ее односторонние пределы равны между собой: lim (x + 5) = 5 + 5 = 10.
7. 3. Определите, совпадают ли значения односторонних пределов и функции в точке x_0 = 5:f(x) = (x² – 25)/(x – 5). Функция не может быть определена в этой точке, так как тогда знаменатель обратится в нуль. Следственно, в точке x_0 = 5 функция имеет устранимый обрыв первого рода.
8. Обрыв второго рода именуется безграничным. Скажем, обнаружьте точки обрыва функции f(x) = 1/x и определите их тип.Решение.1. Область определения функции: x ∈ (-?; 0) ∪ (0; +?);2. Очевидно, что левосторонний предел функции тяготится к -?, а правосторонний – к +?. Следственно, точка x_0 = 0 является точкой обрыва второго рода.
