Совет 1: Как обнаружить точку максимума и минимума

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, которые находятся по определенному алгорифму. Это является главным показателем при изыскании функции. Точка x0 является точкой минимума, если для всех x из определенной окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ? f(x0) (для точки максимума объективно обратное неравенство f(x) ? f(x0)).

Инструкция

1. Обнаружьте производную функции. Производная характеризует метаморфоза функции в определенной точке и определяется как предел отношения приращения функции к приращению довода, тот, что тяготится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Скажем, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

2. Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

3. Обнаружьте значение переменной данного выражения. Это будут те значения, при которых данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры взамен x, при которых все выражение станет нулевым. Скажем:2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1, x2 = -1

4. Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для всего из полученных интервалов. На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за предисловие отсчета. Дабы высчитать значение на интервалах подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Скажем, для предыдущей функции до интервала -1 дозволено предпочесть значение -2. На интервале от -1 до 1 дозволено предпочесть 0, а для значений огромнее 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и узнаете знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. негативно и на данном интервале будет стоять знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а значит на данном интервале ставится позитивный знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и потому ставится минус.

5. Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Совет 2: Как находить точку максимума функции

Точки максимума функции наравне с точками минимума именуются точками экстремума. В этих точках функция меняет нрав поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых промежутках и неизменно являются локальными.

Инструкция

1. Процесс нахождения локальных экстремумов именуется изысканием функции и выполняется путем обзора первой и 2-й производной функции. Перед началом изыскания удостоверитесь, что данный промежуток значений довода принадлежит к возможным значениям. Скажем, для функции F=1/x значение довода х=0 неприемлемо. Либо для функции Y=tg(x) довод не может иметь значение х=90°.

2. Удостоверитесь, что функция Y дифференцируема на каждому заданном отрезке. Обнаружьте первую производную Y’. Видимо, что до достижения точки локального максимума функция повышается, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость метаморфозы функции. Пока функция нарастает, скорость этого процесса является величиной позитивной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса метаморфозы функции становится негативной. Переход скорости метаморфозы функции через нуль происходит в точке локального максимума.

3. Следственно, на участке возрастания функции ее первая производная позитивна для всех значений довода на этом промежутке. И напротив — на участке убывания функции значение первой производной поменьше нуля. В точке локального максимума значение первой производной равно нулю. Видимо, дабы обнаружить локальный максимум функции, нужно обнаружить точку х?, в которой первая производная этой функции равна нулю. При любом значении довода на исследуемом отрезке хх? — негативной.

4. Для нахождения х? решите уравнение Y’=0. Значение Y(х?) будет локальным максимумом, если вторая производная функции в этой точке поменьше нуля. Обнаружьте вторую производную Y», подставьте в полученное выражение значение довода х= х? и сравните итог вычислений с нулем.

5. Скажем, функция Y=-x?+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет постоянную производную Y’=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y»=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x?+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Видео по теме


Полезный совет
Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают надобные значения и выводят итог. На таких сайтах дозволено обнаружить производную до 5 порядка.