Как обнаружить точки перегиба функции
Дабы обнаружить точки перегиба функции, необходимо определить, в каких местах ее график меняет выпуклость на вогнутость и напротив. Алгорифм поиска связан с вычислением 2-й производной и обзором ее поведения в окрестности некоторой точки .
Инструкция
1. Точки перегиба функции обязаны принадлежать области ее определения, которую надобно обнаружить в первую очередь. График функции – это линия, которая может быть постоянной либо иметь обрывы, однообразно убывать либо нарастать, иметь минимальные либо максимальные точки (асимптоты), быть выпуклой либо вогнутой. Резкая смена 2-х последних состояний и именуется перегибом.
2. Нужное условие существования точек перегиба функции состоит в равенстве 2-й производной нулю. Таким образом, двукратно продифференцировав функцию и приравняв получившееся выражение нулю, дозволено обнаружить абсциссы допустимых точек перегиба .
3. Это условие следует из определения свойств выпуклости и вогнутости графика функции, т.е. негативному и правильному значению 2-й производной. В точке перегиба происходит резкая смена этих свойств, значит, производная переходит нулевую отметку. Впрочем равенства нулю еще неудовлетворительно для того, дабы обозначить перегиб.
4. Существует два довольных знака того, что обнаруженная на предыдущем этапе абсцисса принадлежит точке перегиба :Через эту точку дозволено провести касательную к графику функции. Вторая производная имеет различные знаки справа и слева от полагаемой точки перегиба . Таким образом, ее существование в самой точке необязательно, довольно определить, что в ней она меняет знак.Вторая производная функции равна нулю, а третья – нет.
5. Первое довольное условие является универсальным и используется почаще других. Разглядим иллюстрирующий пример: у = (3•х + 3)• ?(х – 5).
6. Решение.Обнаружьте область определения. В данном случае ограничений нет, следственно, ею является все пространство действительных чисел. Вычислите первую производную:у’ = 3•?(х – 5) + (3•х + 3)/?(х – 5)?.
7. Обратите внимание на происхождение дроби. Из него следует, что область определения производной ограничена. Точка х = 5 является выколотой, а значит, через нее может проходить касательная, что отчасти соответствует первому знаку достаточности перегиба .
8. Определите односторонние пределы для получившегося выражения при х ? 5 – 0 и х ? 5 + 0. Они равны -? и +?. Вы подтвердили, что через точку х=5 проходит вертикальная касательная. Эта точка может оказаться точкой перегиба , но вначале вычислите вторую производную:У’’ = 1/?(х – 5)? + 3/?(х – 5)? – 2/3•(3•х + 3)/?(х – 5)^5 = (2•х – 22)/?(х – 5)^5.
9. Опустите знаменатель, от того что точку х = 5 вы теснее учли. Решите уравнение 2•х – 22 = 0. Оно имеет исключительный корень х = 11.Конечный этап – доказательство того, что точки х = 5 и х = 11 являются точками перегиба . Проанализируйте поведение 2-й производной в их окрестностях. Видимо, что в точке х = 5 она меняет знак с «+» на «-», а в точке х = 11 – напротив. Итог: обе точки являются точками перегиба . Исполнено первое довольное условие.
