Совет 1: Как обнаружить тангенс внешнего угла

Если продолжить всякую сторону многоугольника, в точке присоединения к ней смежной стороны получится развернутый угол, поделенный примыкающей стороной на два – внешний и внутренний. Внешним именуется тот из них, тот, что лежит вне периметра геометрической фигуры. Его величина связана с размерами внутреннего определенным соотношением, а величина внутреннего, в свою очередь, связана с другими параметрами многоугольника. Такая связь дозволяет, в частности, рассчитать по параметрам многоугольника тангенс внешнего угла.

Инструкция

1. Если вам вестима величина соответствующего внешнему углу (??) внутреннего (?), исходите из того, что совместно они неизменно образуют развернутый угол. Величина развернутого равна 180° в градусах, что соответствует числу Пи в радианах. Из этого вытекает, что тангенс внешнего угла равен тангенсу разницы между 180° и величиной внутреннего угла: tg(??) = tg(180°-??). В радианах эту формулу нужно записать так: tg(??) = tg(?-??).

2. Если в условиях задачи дана величина тангенса внутреннего угла (?), тангенс внешнего (??) приравнивайте к ней, но с измененным знаком: tg(??) = -tg(?).

3. Зная величину какой-либо иной тригонометрической функции, выражающей внутренний угол (?), проще каждого для расчета тангенса внешнего (??) применять обратную функцию, дабы вычислить градусную меру внутреннего. Скажем, если знаменито значение косинуса, величину угла дозволено обнаружить с применением арккосинуса: ? = arccos(cos(?)). Подставьте полученную величину в формулу из предыдущего шага: tg(??) = -tg(arccos(cos(?))).

4. В треугольнике величина всякого внешнего угла (??) равна сумме величин 2-х внутренних углов (? и ?), лежащих в иных вершинах фигуры. Если эти две величины знамениты, вычислите тангенс их суммы: tg(??) = tg(?+?).

5. В прямоугольном треугольнике величину тангенса внешнего угла (??) дозволено рассчитать по длинам 2-х катетов. Поделите длину того из них, тот, что лежит наоборот вершины внешнего угла (a), на длину прилегающего к этой вершине (b). Итог нужно брать с противоположным знаком: tg(??) = -a/b.

6. Если требуется вычислить тангенс внешнего угла (??) положительного многоугольника, абсолютно довольно будет умения числа вершин (n) этой фигуры. По определению всякий положительный многоугольник дозволено вписать в окружность, а всякий внешний угол будет равен центральному углу круга, соответствующему длине стороны. От того что все стороны идентичны, центральный угол дозволено рассчитать делением полного цикла – 360° – на число сторон 360°/n. Значит, для приобретения желанного значения обнаружьте тангенс от соотношения 360° и числа вершин: tg(??) = tg(360°/n).

Совет 2: Как обнаружить тангенс, если знаменит косинус

Представление тангенса является одним из основных в тригонометрии. Оно обозначает некую тригонометрическую функцию, которая является периодической, но не постоянной в области определения, как синус и косинус . И имеет обрывы в точках (+,-)Пи*n+Пи/2, где n – это период функции. В России он обозначается как tg(x). Его дозволено представить через всякую тригонометрическую функцию, потому что все они узко взаимосвязаны между собой.



Вам понадобится

• Учебник по тригонометрии.

Инструкция

1. Для того, дабы выразить тангенс угла через синус, надобно припомнить геометрическое определение тангенса . Выходит, тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике, называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

2. С иной стороны, разглядите декартову систему координат, на которой начерчена единичная окружность с радиусом R=1, и центром О в начале координат. Примите поворот супротив часовой стрелки, как правильный, а в обратную сторону негативный.

3. Подметьте некую точку M на окружности. Из нее опустите перпендикуляр на ось Ох, назовите ее точкой N. Получился треугольник OMN, у которого угол ONM является прямым.

4. Сейчас разглядите острый угол MON, по определению синуса и косинус а острого угла в прямоугольном треугольникеsin(MON) = MN/OM, cos(MON) = ON/OM. Тогда MN= sin(MON)*OM, а ON = cos(MON)*OM.

5. Вернувшись к геометрическому определению тангенса (tg(MON) = MN/ON), подставьте полученные выше выражения. Тогда:tg(MON) = sin(MON)*OM/cos(MON)*OM, сократите OM, тогда tg(MON) = sin(MON)/cos(MON).



6. Из основного тригонометрического тождества (sin^2(x)+cos^2(x)=1) выразите косинус , через синус: cos(x)=(1-sin^2(x))^0,5 Подставьте это выражение в полученное на шаге 5. Тогда tg(MON) = sin(MON)/(1-sin^2(MON))^0,5.

7. Изредка существует надобность в вычисление тангенса двойного и половинчатого угла. Здесь тоже выведены соотношения:tg(x/2) = (1-cos(x))/sin(x) = (1-(1-sin^2(x))^0,5)/sin(x);tg(2x) = 2*tg(x)/(1-tg^2(x)) = 2*sin(x)/(1-sin^2(x))^0,5/(1-sin(x)/(1-sin^2(x))^0,5)^2) == 2*sin(x)/(1-sin^2(x))^0,5/(1-sin^2(x)/(1-sin^2(x)).

8. Также допустимо выразить квадрат тангенса через двойственный угол косинус а, либо синус. tg^2(x) = (1-cos(2x))/(1+cos(2x)) = (1-1+2*sin^2(x))/(1+1-2*sin^2(x)) = (sin^2(x))/(1-sin^2(x)).

Обратите внимание!
Обратите внимание на области возможных значений при решение уравнений и неравенств.

Полезный совет
Умение назубок основных тождеств, поможет стремительно переходить от одних тригонометрических функций к иным.

Совет 3: Как вычислить тангенс угла

Тангенс – одна из тригонометрических функций, почаще каждого обозначаемая буквами tg, правда встречаются и обозначения tan. Проще каждого представить тангенс как отношение синуса угла к его косинусу. Это нечетная периодическая и не постоянная функция, весь цикл которой равен числу Пи, а точка обрыва соответствует отметке в половину этого числа.



Вам понадобится

• Доступ в интернет либо ОС Windows.

Инструкция

1. При наличии доступа в интернет используйте онлайн-сервисы, которые размещают на своих страницах калькуляторы тригонометрических функций. Скажем, перейдите на страницу http://planetcalc.ru/307/ и в поле «Угол» введите величину угла , тангенс которого требуется определить. Если это значение дано не в градусах, а в радианах, градах, угловых минутах либо секундах, поставьте отметку в соответствующем поле. После этого нажмите оранжевую кнопку «Рассчитать», и скрипты обслуживания произведут нужные вычисления. Результат прочтите в поле «Значение» строки «Тангенс » из таблицы, помещенной ниже оранжевой кнопки отправки данных. Помимо тангенса в этой таблице дозволено увидеть значения еще десяти тригонометрических функций, соответствующих введенному углу.

2. Если доступа в интернет нет, дозволено применять программу-калькулятор, входящую в состав операционной системы Windows. Для ее запуска нажмите клавишу Win, введите пару букв наименования программы – «ка» – и нажмите Enter. Внутренняя поисковая система обнаружит и запустит надобное приложение. В версиях, выпущенных прежде, чем такой механизм поиска был встроен в основное меню ОС (скажем, Windows XP), используйте для запуска пункт «Исполнить» в том же меню – введите в окошко диалога calc и кликните по кнопке OK.

3. Переключите интерфейс из режима «Обыкновенный» в «Инженерный» – нажмите «жгучие клавиши» Alt + 2 либо выберите пункт с наименованием этого режима в разделе «Вид» меню калькулятора.

4. Наберите величину угла , тангенс которого требуется определить. По умолчанию калькулятор считает введенное значение градусной мерой, но если вам оно дано в радианах либо градах, поставьте соответствующую отметку под основным окошком калькулятора. После этого нажмите кнопку, помеченную надписью tan, и программа рассчитает и отобразит итог с точностью до 32 знаков позже запятой. Его дозволено скопировать простым нажатием клавиш Ctrl + C, дабы после этого применять по своему усмотрению.

Видео по теме

Совет 4: Как обнаружить градусную меру угла

Измерение величин плоских углов в градусах придумали в старинном Вавилоне задолго до начала нашей эпохи. Обитатели этого государства выбирали шестидесятеричную систему исчисления, следственно деление углов на 180 либо 360 единиц сегодня выглядит немножко необычно. Однако, предлагаемые в нынешней системе СИ единицы измерения, кратные числу Пи, не мене необычны. Этими двумя вариантами не ограничиваются используемые сегодня обозначения углов, следственно задача перевода их величин в градусную меру появляется довольно зачастую.

Инструкция

1. Если в градусную меру необходимо перевести величину угла в радианах, исходите из того, что одному градусу соответствует число радиан, равное 1/180 доле числа Пи. Эта математическая константа имеет безграничное число знаков позже запятой, следственно и показатель перевода из радиан в градусы тоже является безграничной десятичной дробью. Это обозначает, что безусловно точного значения в формате десятичной дроби получить не получится, следственно показатель перевода необходимо округлить. Скажем, при точности в одну миллиардную долю единицы расчетный показатель будет равен 0,017453293. Позже округления до необходимого числа знаков, поделите на данный показатель начальное число радиан, и вы получите градусную меру угла.

2. При решении математических задач из разделов, относящихся к геометрии, зачастую встречаются формулы, в которых величины углов выражены не радианами, а долями числа Пи. Если вы получите решение, содержащее эту константу, для перевода его в градусы замените ? числом 180. Скажем, если центральный угол определен выражением ?/4, это обозначает, что его градусная мера равна 180°/4=45°.

3. Углы могут быть выражены и единицами, которые имеют наименование «цикл». Такая единица соответствует 360°, следственно задач с пересчетом появиться не должно. Скажем, если в задании говорится об угле в полтора цикла, это соответствует 360*1,5=540° в градусном измерении.

4. Изредка в геометрических задачах упоминается развернутый угол. Она образуется двумя лучами противоположного направления, то есть лежащими на одной прямой. Используйте число 180 для выражения величины развернутого угла в градусах.

5. В геодезии, картографии, астрономии градусы делятся на еще больше мелкие единицы, которые имеют личные наименования – минуты и секунды. Это деление имеет корни там же, где и градусы, следственно весь градус включает в себя 60 минут либо 3600 секунд. Используйте эти числа, если секунды и минуты нужно заменить десятыми долями градуса. Скажем, углу в 11°14’22” соответствует десятичная дробь, примерно равная 11 + 14/60 + 22/3600 ? 11,2394°.

Совет 5: Как обнаружить косинус внешнего угла

Всякий плоский угол дозволено достроить до развернутого, если продлить за вершину одну из его сторон. При этом иная сторона будет разделять развернутый угол на два. Угол, образуемый 2-й стороной и продолжением первой, именуется смежным, а когда речь идет о многоугольниках, его называют еще и внешним. Тот факт, что сумма внешнего и внутреннего углов по определению равна величине развернутого угла, разрешает вычислять тригонометрические функции по знаменитым соотношениям параметров многоугольников.

Инструкция

1. Зная итог вычисления косинуса внутреннего угла (?) вы будете знать модуль косинуса внешнего (??). Исключительная операция, которую вам надобно произвести с этой величиной – изменить ее знак, то есть умножить на -1: cos(??) = -1*cos(?).

2. Если знаменита величина внутреннего угла (?), для вычисления косинуса внешнего (??) дозволено применять метод, описанный в предыдущем шаге – обнаружить его косинус, а после этого поменять знак. Но дозволено сделать и по-иному – сразу вычислить косинус внешнего угла, отняв для этого величину внутреннего от 180°: cos(??) = cos(180°-?). Если величина внутреннего угла приведена в радианах, формулу надобно преобразовать к такому виду: cos(??) = cos(?-?).

3. В верном многоугольнике для вычисления величины внешнего угла (??) не надобно знать никаких параметров, помимо числа вершин (n) этой фигуры. На это число поделите 360° и обнаружьте косинус полученного числа: cos(??) = cos(360°/n). Для вычислений в радианах на число вершин нужно разделять удвоенное число Пи, а формула должна купить такой вид: cos(??) = cos(2*?/n).

4. В прямоугольном треугольнике косинус внешнего угла при вершине, лежащей наоборот гипотенузы, неизменно равен нулю. Для 2-х других вершин эту величину дозволено рассчитать, зная длины гипотенузы (c) и катета (a), которые образуют эту вершину. Никаких тригонометрических функций при этом вычислять не требуется, легко поделите длину меньшей стороны на длину большей и поменяйте знак итога: cos(??) = -a/c.

5. Если знамениты длины 2-х катетов (a и b), тоже дозволено обойтись в расчетах без тригонометрических функций, но формула будет несколько трудней. Дробь, в знаменателе которой стоит длина стороны, примыкающей к вершине внешнего угла, а в числителе – длина иного катета, определяет тангенс внутреннего угла. Зная тангенс дозволено вычислить косинус внутреннего угла: ?(1/(1+a?/b?). Этим выражением замените косинус в правой части формулы из первого шага: cos(??) = -1*?(1/(1+a?/b?).

Совет 6: Что такое тангенс угла

Поведение тригонометрических функций легко проследить, отслеживая метаморфоза расположения точки на единичной окружности. А для закрепления терминологии комфортно разглядеть соотношение сторон в прямоугольном треугольнике.


Дабы сформулировать определение тангенса угла и других тригонометрических функций, рассматривают соотношение углов и сторон в прямоугольном треугольнике.Знаменито, что сумма углов всякого треугольника равна 180°. Следственно, в прямоугольном сумма 2-х непрямых углов равна 90°. Стороны, образующие прямой угол, именуются катетами. Третья сторона фигуры — гипотенуза. Всякий из 2-х острых углов прямоугольного треугольника образован гипотенузой и одним катетом, тот, что именуется «прилежащим» для этого угла. Соответственно, иной катет именуется «противолежащим».Тангесом угла именуется отношение противолежащего катета к прилежащему. Заодно легко запомнить, что обратное отношение именуется котангенсом угла. Тогда тангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен котангенсу второго. Также видимо, что тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу.Отношение сторон — величина, не имеющая размерности. Тангенс, как синус, косинус и котангенс – это число. Всему углу соответствует исключительное значение тангенса (синуса, косинуса, котангенса). Значения тригонометрических функций для всякого угла дозволено обнаружить в математических таблицах Брадиса.Дабы узнать, какие значения может принимать тангенс угла, начертите единичную окружность. При изменении угла от 0° до 90° тангенс изменяется от нуля и устремляется в бесконечность. Метаморфоза функции нелинейное, на графике легко обнаружить промежуточные точки для построения косой: tg 45°=1, tg30°= 1/?3, tg60°=?3.Для негативных углов тангенс от нуля устремляется в минус бесконечность. Тангенс — периодическая функция с обрывами при приближении значения довода (угла) к 90° и -90°.

Видео по теме

Совет 7: Как обнаружить тангенс угла в треугольнике

Тангенс угла, как и другие тригонометрические функции, выражает связанность между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Использование тригонометрических функций разрешает заменить в расчетах величины в градусном измерении на линейные параметры.

Инструкция

1. При наличии транспортира данный угол треугольника дозволено измерить и по таблице Брадиса обнаружить значение тангенса. Если нет вероятности определить градусную величину угла, определите его тангенс с подмогой замеров линейных величин фигуры. Для этого сделайте вспомогательные построения: из произвольной точки на одной из сторон угла опустите перпендикуляр на иную сторону. Измерьте расстояние между концами перпендикуляра на сторонах угла, запишите итог измерения в числитель дроби. Сейчас измерьте расстояние от вершины заданного угла до вершины прямого угла, т. е. до точки на стороне угла, в которую был опущен перпендикуляр. Полученное число запишите в знаменатель дроби. Составленная по итогам измерений дробь равна тангенсу угла.

2. Тангенс угла дозволено определить расчетным путем как отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Также дозволено вычислить тангенс через прямые тригонометрические функции рассматриваемого угла — синус и косинус. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к его косинусу. В различие от постоянных функций синуса и косинуса, тангенс имеет обрыв и не определен при величине угла 90 градусов. При нулевом значении угла его тангенс равен нулю. Из соотношений прямоугольного треугольника видимо, что угол 45 градусов имеет тангенс, равный единице, от того что катеты такого прямоугольного треугольника равны.

3. При значениях угла от 0 до 90 градусов его тангенс имеет правильное значение, от того что синус и косинус в этом промежутке правильны. Пределы метаморфозы тангенса на этом участке – от нуля до беспредельно крупных значений при углах, близких к прямому. При негативных значениях угла его тангенс также меняет знак. График функции Y=tg(x) на промежутке -90°