Как обнаружить интервалы возрастания функций
Пускай задана функция – f(x), определенная своим уравнением. Задача состоит в том, дабы обнаружить интервалы ее однообразного возрастания либо однообразного убывания.
Инструкция
1. Функция f(x) именуется однообразно нарастающей на интервале (a, b), если для всякого x, принадлежащего этому интервалу, f(a) < f(x) < f(b).Функция именуется однообразно убывающей на интервале (a, b), если для всякого x, принадлежащего этому интервалу, f(a) > f(x) > f(b).Если не соблюдается ни одно из этих условий, то функцию невозможно назвать ни однообразно нарастающей, ни однообразно убывающей. В этих случаях требуется дополнительное изыскание.
2. Линейная функция f(x) = kx + b однообразно вырастает на каждой своей области определения, если k > 0, и однообразно убывает, если k < 0. Если k = 0, то функция является константой и ее невозможно назвать ни вырастающей, ни убывающей.
3. Экспоненциальная функция f (x) = a^x однообразно вырастает на каждой области определения, если a > 1, и однообразно убывает, если 0 < a < 1. Если a = 1, то функция, как и в предыдущем случае, превращается в константу.
4. В всеобщем случае функция f(x) может иметь на заданном участке несколько интервалов возрастания и убывания. Дабы их обнаружить, нужно изучать ее на экстремумы.
5. Если задана функция f(x), то ее производная обозначается f?(x). Начальная функция имеет точку экстремума там, где ее производная обращается в нуль. Если при прохождении этой точки производная меняет знак с плюса на минус, то обнаружена точка максимума. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то обнаруженный экстремум — точка минимума.
6. Пускай f(x) = 3x^2 – 4x + 16, а интервал, на котором ее надобно изучать — (-3, 10). Производная функции равна f?(x) = 6x – 4. Она обращается в нуль в точке xm = 2/3. От того что f?(x) < 0 для всякого x < 2/3 и f?(x) > 0 для всякого x > 2/3, то в обнаруженной точке у функции f(x) находится минимум. Ее значение в этой точке равно f(xm) =3*(2/3)^2 – 4*(2/3) + 16 = 14,(6).
7. Найденный минимум лежит в рамках заданного участка. Для последующего обзора нужно вычислить f(a) и f(b). В данном случае:f(a) = f(-3) = 3*(-3)^2 – 4*(-3) + 16 = 55,f(b) = f(10) = 3*10^2 – 4*10 + 16 = 276.
8. От того что f(a) > f(xm) < f(b), то заданная функция f(x) однообразно убывает на отрезке (-3, 2/3) и однообразно повышается на отрезке (2/3, 10).
Видео по теме
