Как обнаружить полный дифференциал функции

Представление полного дифференциала функции изучается в разделе математического обзора наравне с интегральным исчислением и полагает определение частных производных по всему доводу начальной функции.

Инструкция

1. Дифференциал (от лат. «разность») – это линейная часть полного приращения функции. Дифференциал принято обозначать df, где f – функция. Функцию одного довода изредка изображают dxf либо dxF. Представим, есть функция z = f(x, y), функция 2-х доводов x и y. Тогда полное приращение функции будет иметь вид:f(x, y) – f(x_0, y_0) = f’_x (x, y)*(x – x_0) + f’_y(x ,y)*(y – y_0) + ?, где ? – беспредельно малая величина (? ? 0), которая игнорируется при определении производной, от того что lim ? = 0.

2. Дифференциал функции f по доводу x является линейной функцией касательно приращения (x – x_0), т.е. df(x_0) = f’_x_0 (?x).

3. Геометрический толк дифференциала функции: если функция f дифференцируема в точке x_0, то ее дифференциал в этой точке есть приращение ординаты (y) касательной линии к графику функции. Геометрический толк полного дифференциала функции 2-х доводов – это трехмерный аналог геометрического смысла дифференциала функции одного довода, т.е. это приращение аппликаты (z) касательной плоскости к поверхности, уравнение которой задано дифференцируемой функцией.

4. Дозволено записать полный дифференциал функции через приращения функции и доводов, это больше общепризнанная форма записи:?z = (?z/?x)dx + (?z/?y)dy, где ?z/?x – производная функции z по доводу x, ?z/?y – производная функции z по доводу y.Говорят, что функция f(x, y) дифференцируема в точке (x, y), если при таких значениях x и y дозволено определить полный дифференциал этой функции.Выражение (?z/?x)dx + (?z/?y)dy и есть линейная часть приращения начальной функции, где (?z/?x)dx – дифференциал функции z по x, а (?z/?y)dy – дифференциал по y. При дифференцировании по одному из доводов предполагается, что иной довод либо доводы (если их несколько) – непрерывные величины.

5. Пример.Обнаружьте полный дифференциал дальнейшей функции: z = 7*x^2 + 12*y – 5*x^2*y^2.Решение.Применяя предположение, что y – непрерывная величина, обнаружьте частную производную по доводу x, ?z/?x = (7*x^2 + 12*y – 5*x^2*y^2)’dx = 7*2*x + 0 – 5*2*x*y^2 = 14*x – 10*x*y^2;Применяя предположение, что x – непрерывная величина, обнаружьте частную производную по доводу y:?z/?y = (7*x^2 + 12*y – 5*x^2*y^2)’dy = 0 + 12 – 5*2*x^2*y = 12 – 10x^2*y.

6. Запишите полный дифференциал функции:dz = (?z/?x)dx + (?z/?y)dy = (14*x – 10*x*y^2)dx + (12 – 10x^2*y).

Обратите внимание!
В какой-то точке функции могут быть определены частные производные по одному из доводов, но при этом дифференциал может не существовать для общности этих значений.