Как обнаружить обратную функцию для данной
Обратной функцией называют функцию, обращающую начальную связанность у = f(x) таким образом, что довод х и функция у меняются ролями. То есть х становится функцией от y (х = f(у)). При этом графики взаимно обратных функций у = f (x) и х = f (у) симметричны по отношению к оси ординат в первой и третьей координатных четвертях декартовой системы. Областью определения обратной функции является область значений начальной, а областью значений в свою очередь – область определения заданной функции.
Инструкция
1. В всеобщем случае при нахождении обратной функции для заданной у = f(x) выразите довод х через функцию у. Для этого воспользуйтесь правилами умножения обеих частей равенства на одно и то же значение, переносом многочленов выражений, при этом рассматривайте смену знака. В простом случае рассмотрения показательных функций вида: y = (7/x) + 11, обращение довода х производится элементарно: 7/x = у-11, х = 7*(у-11). Желанная обратная функция имеет вид х = 7*(у-11).
2. Впрочем нередко в функциях применяются трудные степенные и логарифмические выражения, а также тригонометрические функции. В этом случае при нахождении обратной функции необходимо рассматривать знаменитые свойства данных математических выражений.
3. Если в начальной функции довод х стоит под степенью, для приобретения обратной функции возьмите от данного выражения корень с тем же показателем. Скажем, для заданной функции у = 7+ х? обратная будет иметь вид: f(у) = ?у -7.
4. При рассмотрении функции, где довод х представляет собой степень непрерывного числа, примените определение логарифма. Из него следует, что для функции f(х) = ах обратной будет являться f(у) = logаy, причем основание логарифма а – в обоих случаях число, хорошее от нуля. Так же и напротив, рассматривая начальную логарифмическую функцию f(х) = logах, ее обратная функция представляет собой степенное выражение: f(у) = ау.
5. В частном случае изыскания функции, содержащей естественный логарифм ln х либо десятичный lg х, т.е. логарифмы по основанию числа е и 10 соответственно, приобретение обратной функции проводится подобно, только взамен основания а подставляется экспоненциальное число либо число 10. Скажем, f(х) = lg х -> f(у) = 10у и f(х) = ln х -> f(у) = еу.
6. Для тригонометрических функций обратными друг к другу являются следующие пары: – y = cos x -> x = аrccos y;- y = sin x -> x = аrcsin y;- y = tan x -> x = аrctan y.
Обратите внимание!
Следует помнить, что постоянную функцию дозволено обратить лишь на тех интервалах ее значений, где она однообразна.
