Совет 1: Как обнаружить наклонную асимптоту

Асимптота функции — линия, к которой безгранично приближается график этой функции. В широком смысле асимптотическая линия может быть и криволинейной, впрочем почаще каждого этим словом обозначают прямые линии.

Инструкция

1. Если заданная функция имеет асимптоты, то они могут быть вертикальными либо наклонными. Существуют также горизонтальные асимптоты, являющиеся частным случаем наклонных.

2. Представим, что вам дана функция f(x). Если она не определена в некоторой точке x0 и по мере приближения x к x0 слева либо справа f(x) тяготится к бесконечности, то в этой точке функция имеет вертикальную асимптоту. Скажем, в точке x = 0 лишаются смысла функции 1/x и ln(x). Если x ? 0, то 1/x ? ?, а ln(x) ? -?. Следственно, обе функции в этой точке имеют вертикальную асимптоту.

3. Наклонная асимптота — прямая, к которой безгранично тяготится график функции f(x) по мере того, как x безгранично повышается либо убывает. Функция может иметь и вертикальные, и наклонные асимптоты.В утилитарных целях различают наклонные асимптоты при x ? ? и при x ? -?. В ряде случаев функция может тяготиться к одной и той же асимптоте в обе стороны, но, вообще говоря, они не обязаны совпадать.

4. Асимптота, как и любая наклонная прямая, имеет уравнение вида y = kx + b, где k и b — константы.Прямая будет наклонной асимптотой функции при x ? ?, если по мере тяготения x к бесконечности разность f(x) – (kx+b) тяготится к нулю. Подобно, если эта разность тяготится к нулю при x ? -?, то прямая kx + b будет наклонной асимптотой функции в этом направлении.

5. Дабы осознать, имеет ли заданная функция наклонную асимптоту, и если имеет — обнаружить ее уравнение, необходимо вычислить константы k и b. Способ вычисления не меняется от того, в каком направлении вы ищете асимптоту.Константа k, также называемая угловым показателем наклонной асимптоты, является пределом отношения f(x)/x при x ? ?.Скажем, путь задана функция f(x) = 1/x + x. Отношение f(x)/x будет в этом случае равно 1 + 1/(x^2). Его предел при x ? ? равен 1. Следственно, заданная функция имеет наклонную асимптоту с угловым показателем 1.Если показатель k получается нулевым, это значит, что наклонная асимптота заданной функции горизонтальна, и ее уравнение y = b.

6. Дабы обнаружить константу b, то есть смещение необходимой нам прямой, потребуется вычислить предел разности f(x) – kx. В нашем случае эта разность равна (1/x + x) – x = 1/x. При x ? ? предел 1/x равен нулю. Таким образом, b = 0.

7. Окончательный итог состоит в том, что функция 1/x + x имеет наклонную асимптоту в направлении плюс бесконечности, уравнение которой y = x. Тем же методом легко подтвердить, что эта же прямая является наклонной асимптотой заданной функции и в направлении минус бесконечности.

Совет 2: Как находить асимптоты

Асимптотой графика функции у=f(x) именуется прямая, график которой безгранично прибли-жается к графику функции при неограниченном удалении произвольной точки M (x,y), принадлежащей f(x) на бесконечность (позитивную либо негативную), никогда не пересекая график функции. Удаление точки на бесконечность подразумевает под собой и случай, когда к бесконечности тяготится только ордината либо абсцисса у=f(x). Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.



Вам понадобится

• – бумага;
• – ручка;
• – линейка.

Инструкция

1. На практике вертикальные асимптоты отыскиваются вовсе примитивно. Это точки нулей знаменателя функции f(x).Вертикальная асимптота – это вертикальная прямая. Ее уравнение x=a. Т.е. при х тяготящимся к a (справа либо слева), функция тяготится к бесконечности (правильной либо негативной).



2. Горизонтальная асимптота – это горизонтальная прямая y=A, к которой график функции безгранично приближается при тяготении х к бесконечности (позитивной либо негативно) (см. рис.1), т.е.



3. Наклонные асимптоты находят немножко больше трудно. Определение их остается бывшим, но задаются они уравнением прямой линии y=kx+b. Расстояние от асимптоты до графика функции тут, в соответствии с рисунком 1 составляет |MP|. Видимо, что если |MP| тяготится к нулю, то к нулю тяготится и длина отрезка |MN |. Точка М – ордината асимптоты, N – функции f(x). Абсцисса у них всеобщая. Расстояние |MN|=f(xM)- (kxM + b) либо примитивно f(x)- (kx + b) , где k – тангенс угла наклона пряной (асимптоты) к оси абсцисс. f(x)- (kx + b) тяготится к нулю, следственно k дозволено обнаружить как предел отношения (f(x)- b)/х, при х тяготящемся к бесконечности (см. рис.2).



4. Позже нахождения k, следует определить b, вычислив предел разности f(x)- kх, при х тяготящимся к бесконечности (см. рис.3).Дальше вам нужно возвести график асимптоты, также как и прямой y=kx+b.



5. Пример. Обнаружить асимптоты графика функции y=(x^2+2x-1)/(x-1).1. Очевидная вертикальная асимптота x=1 (как нуль знаменателя).2. y/x = (x^2+2x-1)/(x-1)x = (x^2+2x-1)/(x^2-x). Следственно, вычислив предел на бесконечности от последней разумной дроби, получиттся k=1. f(x)-kx= (x^2+2x-1)/(x-1) – x = (x^2+2x-1-x^2+x)/(x-1)=3x/(x-1) – 1/(x-1).Таким образом, вы получите b=3. . начальное уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид: y=x+3 (см. рис.4).



Видео по теме

Совет 3: Как обнаружить горизонтальную асимптоту

Что такое асимптота? Это такая прямая, к которой приближается график функции, но не пересекает её. Горизонтальная асимптота выражается уравнением y=A, где A – некоторое число. Геометрически горизонтальная асимптота изображается прямой, параллельной оси Ox и пересекающей ось Oy в точке A.

Инструкция

1. Обнаружьте предел функции при устремлении довода “x” к плюс бесконечности. Если данный предел равен некоторому числу A, то y=A – горизонтальная асимптота функции.

2. Обнаружьте предел функции при устремлении довода “x” к минус бесконечности. Вновь же, если данный предел равен некоторому числу B, то y=B – горизонтальная асимптота функции. Пределы функции при тяготении довода к минус и плюс бесконечности могут совпадать, в этом случае имеем только одну горизонтальную асимптоту .

3. Подметьте на оси ординат Oy точки A и B (одну точку, если они совпадают). Проведите через всякую точку прямую параллельно оси абсцисс Ox. Это и будет горизонтальная асимптота функции.

4. Используйте обнаруженную горизонтальную асимптоту при построении графика функции. Помните, что при большом увеличении (уменьшении) довода он будет безмерно приближаться к асимптоте, но никогда не пересечет её.

Совет 4: Как обнаружить асимптоты графика функции

Асимптоты – это прямые, к которым безгранично приближается кривая графика функции при тяготении довода функции к бесконечности. Раньше чем приступить к построению графика функции, надобно обнаружить все вертикальные и наклонные (горизонтальные) асимптоты, если они существуют.

Инструкция

1. Обнаружьте вертикальные асимптоты. Пускай дана функция y=f(x). Обнаружьте ее область определения и выделите все точки a, в которых эта функция не определена. Подсчитайте пределы lim(f(x)), когда x тяготится к a, к (a+0) либо к (a−0). Если правда бы один такой предел равен +∞ (либо -∞), то вертикальной асимптотой графика функции f(x) будет прямая x=a. Вычислив два односторонних предела, вы определите как себя ведет функция при приближении к асимптоте с различных сторон.

2. Изучите несколько примеров. Пускай функция y=1/(x²−1). Подсчитайте пределы lim(1/(x²−1)), когда x тяготится к (1±0), (-1±0). Функция имеет вертикальные асимптоты x=1 и x=-1, потому что эти пределы равны +∞. Пускай дана функция y=cos(1/x). У этой функции нет вертикальной асимптоты x=0, потому что область метаморфозы функции косинус отрезок [-1; +1] и ее предел никогда не будет равен ±∞ при всяких значениях x.

3. Обнаружьте сейчас наклонные асимптоты. Для этого подсчитайте пределы k=lim(f(x)/x) и b=lim(f(x)−k×x) при x, тяготящемся к +∞ (либо -∞). Если они существуют, то наклонная асимптота графика функции f(x) будет задана уравнением прямой y=k×x+b. Если k=0, прямая y=b именуется горизонтальной асимптотой.

4. Разглядите для наилучшего понимания дальнейший пример. Пускай дана функция y=2×x−(1/x). Подсчитайте предел lim(2×x−(1/x)) при x, тяготящемся к 0. Данный предел равен ∞. То есть вертикальной асимптотой функции y=2×x−(1/x) будет прямая x=0. Обнаружьте показатели уравнения наклонной асимптоты. Для этого подсчитайте предел k=lim((2×x−(1/x))/x)=lim(2−(1/x²)) при x, тяготящимся к +∞, то есть получается k=2. И сейчас подсчитайте предел b=lim(2×x−(1/x)−k×x)= lim(2×x−(1/x)−2×x)=lim(-1/x) при x, тяготящимся к +∞, то есть b=0. Таким образом, наклонная асимптота данной функции задана уравнением y=2×x.

5. Обратите внимание, что асимптота может пересекать кривую. Скажем, для функции y=x+e^(-x/3)×sin(x) предел lim(x+e^(-x/3)×sin(x))=1 при x, тяготящимся к ∞, а lim(x+e^(-x/3)×sin(x)−x)=0 при x, тяготящимся к ∞. То есть асимптотой будет прямая y=x. Она пересекает график функции в нескольких точках, скажем, в точке x=0.

Обратите внимание!
Знак ^ обозначает возведение в степень.

Совет 5: Как обнаружить асимптоты функции

Полное изыскание функции и построение ее графика полагают целый спектр действий, включая нахождение асимптот, которые бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Инструкция

1. Асимптоты функции используются для упрощения построения ее графика, а также изыскания свойств ее поведения. Асимптота – это прямая линия, к которой приближается безмерная ветвь косой, заданной функцией. Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

2. Вертикальные асимптоты функции параллельны оси ординат, это прямые вида x = x0, где x0 – граничная точка области определения. Граничной именуется точка, в которой односторонние пределы функции являются безграничными. Для того, дабы обнаружить асимптоты этого рода, необходимо изучать ее поведение, вычислив пределы.

3. Обнаружьте вертикальную асимптоту функции f(х) = х?/(4•х? – 1). Для начала определите ее область определения. Это может быть только значение, при котором знаменатель обращается в нуль, т.е. решите уравнение 4•х? – 1 = 0 ? х=±1/2.

4. Вычислите односторонние пределы: lim_(х?-1/2) х?/(4•х? – 1) = lim х?/((2•х – 1)•(2•х + 1)) = +?.lim_(х?1/2) х?/(4•х? – 1) = -?.

5. Таким образом, вы узнали, что оба односторонних предела являются безграничными. Следственно, прямые х=1/2 и х=-1/2 являются вертикальными асимптотами.

6. Наклонные асимптоты – это прямые вида k•х+b, в которых k = lim f/х и b = lim (f – k•х) при х??. Такая асимптота станет горизонтальной при k=0 и b??.

7. Узнайте, имеет ли функция из предыдущего примера наклонные либо горизонтальные асимптоты. Для этого определите показатели уравнения прямой асимптоты через следующие пределы:k = lim (х?/(4•х? – 1))/х = 0;b = lim (х?/(4•х? – 1) – k•х) = lim х?/(4•х? – 1) = 1/4.

8. Выходит, у этой функции есть и наклонная асимптота, а от того что выполняется условие нулевого показателя k и b, не равного бесконечности, то она горизонтальная.Результат: функция х?/(4•х? – 1) имеет две вертикальные x = 1/2; x = -1/2 и одну горизонтальную у = 1/4 асимптоты.

Видео по теме

Совет 6: Как обнаружить вертикальную асимптоту

Что представляет собой вертикальная асимптота? Данный вопрос следует узнать раньше, чем вы приступите к проведению расчетов. Все расчеты выполняются по определенным формулам. Немного кто предполагает процесс нахождения асимптот интересным занятием, впрочем, если вы постигаете математический обзор, искать вертикальную асимптоту вам животрепещуще нужно.



Вам понадобится

• Лист бумаги, ручка, калькулятор.

Инструкция

1. 1-й этап — нахождение 2-х пределов.



2. 2-й шаг — нахождение 2-х пределов.



3. Если k=o в п. 2, то kx=0, и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты.



4. Выясняем, какие данные у нас есть для проведения всех нужных расчетов. Если каких либо данных не хватает, надобно проверить есть ли вероятность обнаружить недостающие величины.

5. Подставляем все имеющиеся данные в формулу и проводим расчеты.

Видео по теме


Обратите внимание!
Исполняйте все расчеты дюже старательно, крупна вероятность допустить ошибку.

Полезный совет
Надобно помнить о свойствах асимптот — среди всех конических сечений, асимптоты есть только у гиперболы.