Совет 1: Как обнаружить координаты центра окружности
Окружность ? геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от центра на некоторое расстояние, называемое радиусом. Если задана нулевая точка отсчета, единичный отрезок и направление координатных осей, центр окружности будет характеризоваться определенными координатами. Как водится, окружность рассматривают в декартовой прямоугольной системе координат.
Инструкция
1. Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)?+(y-y0)?=R?, где x0 и y0 ? координаты центра окружности , R ? ее радиус. Выходит, центр окружности (x0;y0) тут задан в очевидном виде.
2. Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)?+(y-5)?=25.Решение. Данное уравнение является уравнением окружности . Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3. Уравнение x?+y?=R? соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)?+y?=R? обозначает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x?+(y-y0)?=R? говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4. Всеобщее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x?+y?+Ax+By+C=0. Дабы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, нужно сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x?+2(A/2)x+(A/2)?]+[y?+2(B/2)y+(B/2)?]+C-(A/2)?-(B/2)?=0. Для выделения полных квадратов, как дозволено подметить, требуется добавлять добавочные величины: (A/2)? и (B/2)?. Дабы знак равенства сохранялся, эти же величины нужно вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5. Таким образом, получается: [x+(A/2)]?+[y+(B/2)]?=(A/2)?+(B/2)?-C. Из этого уравнения теснее видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=?[(A/2)?+(B/2)?-C]. Кстати, выражение для радиуса дозволено упростить. Домножьте обе части равенства R=?[(A/2)?+(B/2)?-C] на 2. Тогда: 2R=?[A?+B?-4C]. Отсель R=1/2·?[A?+B?-4C].
6. Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, потому что, по определению, в функции всем x соответствует исключительное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Дабы удостовериться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7. Но окружность дозволено представить как объединение 2-х функций: y=y0±?[R?-(x-x0)?]. Тут x0 и y0, соответственно, представляют собой желанные координаты центра окружности . При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=?[R?-x?].
Совет 2: Как обнаружить координаты середины отрезка
Отрезок прямой определяется двумя крайними точками и состоит из множества точек, лежащих на проходящей через крайние точки прямой линии. Если отрезок размещен в какую-нибудь систему координат, то, обнаружив средние точки его проекций на всякую из осей, дозволено узнать координаты середины отрезка. По сути, операция сводится к нахождению среднего арифметического значения пар чисел для всей из координатных осей.
Инструкция
1. Разделяете напополам сумму исходной и финальной координат крайних точек отрезка по всякой оси, дабы определить координаты средней точки по этой оси. Скажем, пускай отрезок размещен в трехмерную систему координат XYZ и знамениты координаты его крайних точек A(Xa,Ya,Za) и C(Xc,Yc,Zc). Тогда координаты его средней точки E(Xe,Ye,Ze) дозволено вычислить по формулам Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.
2. Используйте всякий из калькуляторов, если вычислить средние значения координат крайних точек отрезка в уме не представляется допустимым. Если под рукой нет такого гаджета, то используйте программный калькулятор из состава ОС Windows. Его дозволено запустить, если, щелкнув кнопку «Пуск» раскрыть основное меню системы. В меню нужно перейти в раздел «Типовые», после этого в подраздел «Служебные», а потом в сегменты «Все программы» предпочесть пункт «Калькулятор». Дозволено обойтись без основного меню, если нажать сочетание клавиш WIN + R, ввести команду calc, а после этого нажать клавишу Enter.
3. Суммируйте попарно исходные и финальные координаты крайних точек отрезка по всякой оси и разделяете итог на два. Интерфейс программного калькулятора имитирует обыкновенный калькулятор, а вводить числовые значения и символы математических операций дозволено как щелкая кнопки курсором мыши на экране, так и нажимая соответствующие клавиши на клавиатуре. Никаких трудностей с этими вычислениями появиться не должно.
4. Записывайте математические операции в текстовом виде и вводите их в поле поискового запроса на основной странице сайта Google, если отчего-либо не можете применять калькулятор, но имеете доступ в интернет. Данный поисковик имеет встроенный универсальный калькулятор, пользоваться которым гораздо проще, чем любым иным. Тут нет никакого интерфейса с кнопками – вводить все данные нужно в текстовом виде в исключительное поле. Скажем, если знамениты координаты крайних точек отрезка в трехмерной системе координат A(51,34 17,2 13,02) и A(-11,82 7,46 33,5), то координаты средней точки отрезка C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Вводя в поле поискового запроса (51,34-11,82)/2, после этого (17,2+7,46)/2 и (13,02+33,5)/2, дозволено с поддержкой Google получить координаты С(19,76 12,33 23,26).
Совет 3: Как обнаружить уравнение окружности
Стандартное уравнение окружности дозволяет узнать несколько значимых сведений об этой фигуре, скажем, координаты ее центра, длину радиуса. В некоторых задачах, напротив, по заданным параметрам требуется составить уравнение.
Инструкция
1. Проверьте, указаны ли в условиях задачи координаты центральной точки окружности и длина радиуса в очевидном виде. В этом случае вам довольно подставить данные в стандартную запись уравнения, дабы получить результат.
2. Определите, какими сведениями об окружности вы располагаете, исходя из данной вам задачи. Запомните, что финальной целью является надобность определить координаты центра, а также диаметр. Все ваши действия обязаны быть направлены на достижение именно этого итога.
3. Используйте данные о наличии точек пересечения с координатными прямыми либо другими прямыми. Обратите внимание, что, если окружность проходит через ось абсцисс, вторая точка пересечения будет иметь координату 0, а если через ось ординат – то первая. Эти координаты дозволят вам обнаружить координаты центра окружности, а также вычислить радиус.
4. Не забывайте об основных свойствах секущих и касательных. В частности, особенно пригодной оказывается теорема о том, что в точке касания радиус и касательная образуют прямой угол. Но обратите внимание на то, что вас могут попросить подтвердить все использованные в ходе решения теоремы.
5. Прорешайте особенно типовые типы задач, дабы обучиться сразу видеть, как применять те либо иные данные для приобретения уравнения окружности. Так, помимо теснее указанных задач с прямо заданными координатами и теми, в условиях которых даны данные о наличии точек пересечения, для составления уравнения окружности дозволено воспользоваться познаниями о центре окружности, длине хорды и уравнения прямой, на которой эта хорда лежит.
6. Для решения постройте равнобедренный треугольник, основанием которого будет данная хорда, а равные стороны – радиусами. Составьте систему уравнений, из которой вы легко обнаружите нужные данные. Для этого довольно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка в координатной плоскости.
Видео по теме
Совет 4: Как обнаружить координаты точки в окружности
Под окружностью понимают фигуру, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Расстояние от центра до точек окружности именуется радиусом.
Вам понадобится
- – примитивный карандаш;
- – тетрадь;
- – транспортир;
- – циркуль;
- – ручка.
Инструкция
1. Раньше чем обнаружить координаты той либо другой точки окружности , постройте заданную окружность. При ее построении вам могут встретиться уйма новых представлений. Так хорда – это отрезок, тот, что соединяет две точки окружности , причем хорда, проходящая через центр окружности – максимальная (она носит наименование диаметра). Помимо того, к окружности может быть проведена касательная, которая представляет собой прямую, перпендикулярно расположенную к радиусу окружности , тот, что проведен к точке пересечения касательной и рассматриваемой геометрической фигуры.
2. Если по условию задания вестимо, что построенную вами окружность пересекает иная окружность (она поменьше по размерам), изобразите это графически: на рисунке должно быть изображено, что две эти окружности пересекаются, то есть имеют ряд всеобщих точек. Центр первой окружности обозначьте точкой 1 (ее координаты (X1,Y1)), а ее радиус – R1. Таким образом, центр 2-й окружности должен быть обозначен точкой 2 (координаты этой точки (X2,Y2)), а радиус – R2. В точках пересечения фигур поставьте точки 3 (X3,Y3) и 4 (X4,Y4). Центральная точка пересечения должна быть обозначена 0: ее координаты (X,Y).
3. Для того дабы обнаружить координаты пресечения данных окружностей, а следственно и точку, принадлежащую и первой, и 2-й из них, вам придется решить квадратное уравнение. Разглядите два образовавшихся треугольника (?103 и ?203) и проанализируйте их показатели. Гипотенузы этих треугольников – R1 и R2 соответственно. Зная значение гипотенуз, обнаружьте отрезок D, соединяющий центр первой окружности с центром 2-й. Выбранный способ расчета напрямую зависит от того, какими получились анализируемые вами треугольники. Если они прямоугольные, то квадрат длины гипотенузы всякого из них будет равен сумме квадратов катетов данного треугольника. К тому же, длину катета дозволено обнаружить по формуле: a = ccos ?, где с – длина гипотенузы, а cos? – косинус прилежащего угла. Обнаружив значение катетов, определите координаты волнующей вас точки.
Видео по теме
Обратите внимание!
Будьте внимательны, рассчитывая значения катетов: не допустите ошибку.
Полезный совет
Не позабудьте: один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть равен 90о.
Обратите внимание!
Две окружности, имеющие центром точку с одними и теми же координатами, именуются концентрическими. Если они заданы уравнениями (x-x0)?+(y-y0)?=R? и (x-x0′)?+(y-y0′)?=R’?, тогда x0=x0′, y0=y0′. В всеобщем уравнении для концентрических окружностей A1=A2 и B1=B2.
Полезный совет
Кстати, в физике окружность может рассматриваться как тонкое однородное кольцо. Центр этого кольца будет являться центром масс (либо центром инерции) такого тела. Если кольцо имеет массу m и радиус r, а через центр перпендикулярно плоскости кольца провести ось, то момент инерции кольца касательно оси будет равен mr?. Момент инерции твердо главен при рассмотрении вращательного движения тела.
