Как вычислить скалярное произведение векторов

Вектор – это направленный отрезок, задающийся следующими параметрами: длиной и направлением (углом) к заданной оси. Помимо этого расположение вектора ничем не ограничено. Равными считаются те векторы, которые сонаправлены и владеют равными длинами.



Вам понадобится

• – бумага;
• – ручка.

Инструкция

1. В полярной системе координат их изображают радиус-векторами точек его конца (предисловие находится в начале координат). Векторы принято обозначать дальнейшим образом (см. рис.1). Длина вектора либо его модуль обозначается |a|. В декартовых координатах вектор задается координатами его конца. Если а имеет некоторые координаты (x, y, z), то записи вида а (x, y, a)= а={x, y, z} нужно считать эквивалентными. При применении векторов-ортов координатных осей i, j, k, координаты вектора а будут иметь дальнейший вид: а=xi + yj + zk.



2. Скалярным произведением векторов a и b именуется число (скаляр) равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними (см. рис. 2): (a, b) = |a||b|cos?. Скалярное произведение векторов владеет следующими свойствами:1. (a, b)=(b,a); 2. (a+ b,c)=(a,c)+(b,c);3. |a|2=(a,a) – скалярный квадрат.Если два вектора расположены под углом 90 градусов по отношению друг к другу (ортогональны, перпендикулярны), то их скалярное произведение равно нулю, потому что косинус прямого угла равен нулю.

3. Пример. Нужно обнаружить скалярное произведение 2-х векторов, заданных в декартовых координатах.Пускай а={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}. Либо а=x1i + y1j + z1k, b=x2 i + y2 j + z2k.Тогда (a, b)=(x1i + y1j + z1k, x2 i + y2 j + z2k)=(x1x2) (i, i)+ (x1y2) (i, j)+ (x1z2) (i, k) + (y1x2) (j, i)+ (y1y2) (j, j)+ +(y1z2) (j, k) + (z1x2) (i, i)+ (z1y2) (i, j)+ (z1z2) (i, k).

4. В этом выражении от нуля чудесны только скалярные квадраты, потому что разноименные координатные орты ортогональны. С учетом того, что модуль всякого вектора-орта (то же и для i, j, k) – единица, имеем (i,i)=(j,j)= (k,k)=1. Таким образом, от начального выражения осталось (a, b)=x1x2 + y1y2 + z1z2.Если задать координаты векторов некоторыми числами, то получим следующее: а={10, -3, 1}, b={-2, 5, -4}, тогда (a, b)=x1x2 + y1y2 + z1z2=-20-15-4=-39.

Видео по теме