Совет 1: Как вычислить радиус вписанной окружности в треугольник

Вписанной в многоугольник с любым числом сторон именуется такая окружность, которая касается всей стороны лишь в одной точке. В треугольник дозволено вписать каждого одну окружность, а ее радиус зависит от параметров многоугольника – длин сторон, величин углов, площади, периметра и др. От того что эти параметры связаны между собой знаменитыми тригонометрическими соотношениями, для вычисления радиуса вписанной окружности не неукоснительно знать их все.

Инструкция

1. Если длины всех сторон треугольника (a, b и c) знамениты, для вычисления радиуса (r) вписанной в него окружности придется извлекать квадратный корень. Но вначале добавьте к вестимым переменным еще одну – полупериметр (p). Рассчитайте его, сложив длины всех сторон и поделив итог напополам: p = (a+b+c)/2. Эта переменная гораздо упростит всеобщую формулу расчета. Формула должна состоять из знака радикала, под тот, что размещена дробь с полупериметром в знаменателе. В числитель этой дроби поставьте произведение разностей полупериметра с длинами всякой из сторон: r = ?((p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

2. Умение площади треугольника (S) в дополнение к длинам всех сторон (a, b и c) дозволит обойтись при вычислении радиуса вписанной окружности (r) без извлечения корня. Удвойте площадь и поделите итог на сумму длин всех сторон: r = 2*S/(a+b+c). Если и в этом случае ввести полупериметр (p = (a+b+c)/2), дозволено получить вовсе примитивную формулу расчета: r = S/p.

3. Если в условиях даны длина одной из сторон треугольника (a), величина лежащего наоборот него угла (?) и периметр (P), для вычисления радиуса вписанной окружности задействуйте одну из тригонометрических функций – тангенс. Формула расчета должна содержать разность между половиной периметра и длиной стороны, умноженную на тангенс половины величины угла: r = (P/2-a)*tg(?/2).

4. В прямоугольном треугольнике с вестимыми длинами катетов (a, b) и гипотенузы (c) радиус вписанной окружности (r) вычисляется примитивно. Сложите длины катетов, вычтите из итога длину гипотенузы и поделите полученную величину напополам: r = (a+b-c)/2.

5. Радиус окружности (r), вписанной в положительный треугольник с знаменитой длиной стороны (a) вычисляется по примитивный формуле. Правда, в ней присутствует безмерная дробь, в числителе которой стоит корень из тройки, а в знаменателе – шестерка. На эту дробь умножьте длину стороны: r = a*?3/6.

Совет 2: Как обнаружить длину вписанной окружности в треугольник

Если все точки внутри периметра круга не выходят за пределы периметра треугольника и при этом периметр круга имеет каждого по одной всеобщей точке с всей из сторон треугольника, то окружность именуется вписанной в треугольник. Существует каждого одно значение радиуса круга, при котором его дозволено вписать в треугольник с заданными параметрами. Это качество вписанного круга дозволяет по параметрам треугольника вычислить и его параметры, включая длину окружности.

Инструкция

1. Начните вычисление длины вписанной в треугольник окружности (l) с определения ее радиуса (r). Если вестима площадь многоугольника (S) и длины всех его сторон (a, b и c), то радиус будет равен отношению удвоенной площади к сумме этих длин r=2*S/(a+b+c).

2. Используйте геометрическое определение константы Пи для вычисления длины окружности по вестимому значению радиуса. Эта константа выражает отношение длины окружности к ее диаметру, то есть удвоенному радиусу. Значит, для нахождения длины окружности вам следует умножить полученное на предыдущем шаге значение радиуса на удвоенное число Пи. В всеобщем виде эту формулу дозволено записать так: l=4*?*S/(a+b+c).

3. Если площадь треугольника неведома, но дана величина одного из его углов (?) и длины всех сторон (a, b и c), то радиус вписанной окружности (r) дозволено выразить через тангенс угла ?. Для этого вначале сложите длины всех сторон и поделите итог напополам, потом отнимите от полученного значения длину той стороны (a), которая лежит наоборот угла знаменитой величины. Полученное число нужно умножить на тангенс половины знаменитой величины угла: r=((a+b+c)/2-a)*tg(?/2). Если этой формулой во втором шаге заменить выражение из первого шага, то формула длины окружности примет такой вид: l=2*?*((a+b+c)/2-a)*tg(?/2).

4. Дозволено обойтись и только длинами сторон треугольника (a, b и c). Но в этом случае для облегчения формулы класснее ввести дополнительную переменную – полупериметр треугольника: p=(a+b+c)/2. С ее поддержкой радиус вписанной окружности дозволено выразить как квадратный корень из частного от деления произведения разности полупериметра и длины всякой из сторон на полупериметр: r=?((p-a)*(p-b)*(p-c)/p). А формула длины вписанной окружности в этом случае приобретет такой вид: l=2*?*?((p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Видео по теме

Совет 3: Как обнаружить радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

В весь треугольник , самостоятельно от его вида, дозволено вписать только одну окружность. Ее центр единовременно является и точкой пересечения биссектрис. У прямоугольного треугольник а есть ряд своих собственных свойств, которые нужно рассматривать при вычислении радиуса вписанной окружности. Данные в задаче могут быть указаны различные и появляется надобность провести добавочные расчеты.



Вам понадобится

• – прямоугольный треугольник с заданными параметрами;
• – карандаш;
• – лист бумаги;
• – линейка;
• – циркуль.

Инструкция

1. Начните с построения. Начертите треугольник с заданными размерами. Всякий треугольник строится по трем сторонам, стороне и двум углам либо же двум сторонам и углу между ними. От того что размер одного угла задан первоначально, то в условиях обязаны быть указаны либо два катета, либо один из катетов и один из углов, либо один катет и гипотенуза. Обозначьте треугольник как АСВ, где С — вершина прямого угла. Обозначьте противолежащие углам катеты как а и b, а гипотенузу — как с. Радиус вписанной окружности обозначьте как r.

2. Дабы иметь вероятность применить классическую формулу вычисления радиуса вписанной окружности, обнаружьте все три стороны. Метод вычислений зависит от того, что задано в условиях. Если даны размеры всех 3 сторон, вычислите полупериметр по формуле p=(a+b+c)/2. Если вам даны размеры 2-х катетов, обнаружьте гипотенузу. Согласно теореме Пифагора, она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, то есть с=?a2+b2.

3. Когда дан один катет и угол, определите, является ли он противолежащим либо прилежащим. В первом случае используйте теорему синусов, то есть обнаружьте гипотенузу по формуле с=a/sinСАВ, во втором — считайте по теореме косинусов. В этом случае с=a/cosCBA. Исполнив расчеты, обнаружьте полупериметр треугольник а.

4. Зная полупериметр, дозволено вычислить радиус вписанной окружности. Он равен квадратному корню из дроби, в числителе которой стоит поизведение разностей этого полупериметра со всеми сторонами, а в знаменатели — полупериметр. То есть r=?(p-a)(p-b)(p-c)/p.

5. Обратите внимание на то, что числитель данного подкоренного выражения представляет собой площадь данного треугольник а. То есть радиус дозволено обнаружить и иным путем, поделив площадь на полупериметр. Так что если знамениты оба катета, то вычисления несколько упрощаются. Нужно для полупериметра гипотенузу обнаружьте по сумме квадратов катетов. Площадь сосчитайте, умножив катеты друг на друга и поделив полученное число на 2.

Совет 4: Как обнаружить длину вписанной окружности

Окружность будет считаться вписанной в многоугольник только в том случае, если все стороны данного многоугольника без исключения касаются данной окружности. Обнаружить длину вписанной окружности дюже легко.

Инструкция

1. Для того дабы узнать длину окружности, необходимо владеть данным о ее радиусе либо диаметре. Радиусом окружности считается отрезок, тот, что соединяет друг с ином центр данной окружности с всякий из точек, принадлежащих окружности. Диаметром окружности является отрезок, тот, что соединяет противоположные друг другу точки окружности, при это непременно проходя через центр окружности. Из определений становится ясно, что радиус окружности в два раза поменьше ее диаметра. Центром окружности является точка, которая в равной степени удалена от всей из точек на окружности.Формулы, с поддержкой которых находится длина окружности, выглядят так:L = ?*D, где D – диаметр окружности;L = 2*?*R, где R – радиус окружности.Пример: Диаметр окружности составляет 20 см, требуется обнаружить ее длину. Решается эта задача с использованием самой первой формулы:L = 3.14*20 = 62.8 смОтвет: Длина окружности диаметром 20 см составляет 62.8 см

2. Определившись с тем, как находится длина окружности, нужно узнать, как обнаружить радиус либо диаметр вписанной в многоугольник окружности. Если в многоугольнике вестима его площадь S, а также его полупериметр P, то обнаружить радиус вписанной окружности дозволено с поддержкой такой формулы:R = S/p

3. Ради понятности представленных выше данных, дозволено разглядеть пример:В четырехугольник вписана окружность. Площадь данного четырехугольника 64 см?, полупериметр его равен 8 см, просится обнаружить длину вписанной в данный многоугольник окружности. Для решения данной задачи нужно исполнить несколько действий. Вначале нужно обнаружить радиус данной окружности:R = 64/8 = 8 смТеперь, зная ее радиус, дозволено, собственно, вычислить и длину данной окружности:L = 2*8*3.14 = 50.24 смОтвет: длина вписанной в многоугольник окружности составляет 50.24 см

Видео по теме

Совет 5: Как обнаружить радиус окружности, вписанной в ромб

Параллелограмм, все стороны которого имеют идентичную длину, называют ромбом . Это основное качество определяет и равенство углов, лежащих в противоположных вершинах такой плоской геометрической фигуры. В ромб дозволено вписать окружность, радиус которой рассчитывается несколькими методами.

Инструкция

1. Если вестима площадь (S) ромба и длина его стороны (a), то для нахождения радиус а (r) вписанной в эту геометрическую фигуру окружности рассчитайте частное от деления площади на удвоенную длину стороны: r=S/(2*a). Скажем, если площадь равна 150 см?, а длина стороны – 15 см, то радиус вписанной окружности будет равен 150/(2*15) = 5 см.

2. Если помимо площади (S) ромба вестима величина острого угла (?) в одной из его вершин, то для вычисления радиус а вписанной окружности обнаружьте квадратный корень из четверти произведения площади на синус знаменитого угла: r=?(S*sin(?)/4). Скажем, если площадь равна 150 см?, а знаменитый угол имеет величину 25°, то расчет радиус а вписанной окружности будет выглядеть так: ?(150*sin(25°)/4) ? ?(150*0,423/4) ? ?15,8625 ? 3,983 см.

3. Если вестимы длины обеих диагоналей ромба (b и c), то для вычисления радиус а вписанной в такой параллелограмм окружности обнаружьте соотношение между произведением длин сторон и квадратным корнем из суммы их длин, возведенных в квадрат: r=b*c/?(b?+c?). Скажем, если диагонали имеют длину 10 и 15 см, то радиус вписанной окружности составит 10*15/?(10?+15?) = 150/?(100+225) = 150/?325 ? 150/18,028 ? 8,32 см.

4. Если вестима длина лишь одной диагонали ромба (b), а также величина угла (?) в вершинах, которые соединяет эта диагональ, то для расчета радиус а вписанной окружности умножайте половину длины диагонали на синус половины знаменитого угла: r=b*sin(?/2)/2. Скажем, если длина диагонали равна 20 см, а величина угла – 35°, то радиус будет рассчитываться так: 20*sin(35°/2)/2 ? 10*0,301 ? 3,01 см.

5. Если все углы в вершинах ромба равны, то радиус вписанной окружности неизменно будет составлять половину длины стороны этой фигуры. Потому что в евклидовой геометрии сумма углов четырехугольника равна 360°, то весь угол будет равен 90°, а такой частный случай ромба будет являться квадратом.

Совет 6: Как вычислить радиус

Радиус , это параметр, тот, что верно определяет размеры круга либо сферы – умения его одного довольно для построения таких геометрических фигур. Радиус связан касательно примитивными соотношениями с другими колляциями округлых геометрических фигур – периметром, площадью, объемом, площадью поверхности и др. Это дозволяет несложными вычислениями обнаружить радиус по косвенным данным.

Инструкция

1. Если требуется вычислить радиус (R) круга, периметр (P) которого дан в начальных условиях, разделяете длину окружности – периметр – на удвоенное число Пи: R = P/(2*?).

2. Площадь (S) плоскости, ограниченной окружностью, тоже может быть выражена через радиус (R) и число Пи. Если она знаменита, извлекайте квадратный корень из соотношения между площадью и числом Пи: R = ?(S/?).

3. Зная длину дуги (L), т.е. части периметра круга, и соответствующий ей центральный угол (?) радиус окружности (R) рассчитать тоже допустимо. Если центральный угол выражен в радианах, легко поделите на него длину дуги: R = L/?. Если же угол приведен в градусах, формула гораздо усложнится. Умножайте длину дуги на 360°, а полученный итог разделяете на удвоенное произведение числа Пи на величину центрального угла в градусах: R = 360*L/(2*?*?).

4. Дозволено выразить радиус (R) и через длину хорды (m), соединяющей крайние точки дуги, если знаменита измеренная в градусах величина угла (?), тот, что образует данный сектор круга. Поделите половину длины хорды на синус половины величины угла: R = m/(2*sin(?/2)).

5. Если необходимо рассчитать радиус (R) сферы, внутри которой заключен вестимый объем пространства (V), придется вычислять кубический корень. В качестве подкоренного выражения используйте утроенный объем, поделенный на четыре числа Пи: R = ??(3*V/(4*?)).

6. Умение площади поверхности сферы (S) тоже дозволит вычислить радиус шара (R). Для этого извлеките квадратный корень из соотношения между площадью и увеличенным в четыре раза числом Пи: R = ?(S/(4*?)).

7. Зная не всю площадь сферы, а лишь площадь (s) ее участка – сегмента – заданной высоты (H), тоже дозволено посчитать радиус (R) объемной фигуры. Половину площади сегмента поделите на произведение высоты на число Пи: R = ?(s/(2*?*H)).

8. Самым простым будет вычисление радиуса (R) по знаменитому диаметру (D) фигуры. Поделите эту величину напополам и получите желанное значение как для круга, так и для сферы: R = D/2.

Совет 7: Как Эратосфен вычислил радиус Земли

Мифический древнегреческий звездочет и математик Эрастофен опытным путем определил угол наклона Солнца к Земле в 2-х городах, лежащих, по его суждению, на одном меридиане. Зная расстояние между ними, он математически высчитал радиус нашей планеты. Вычисления оказались достаточно точны.

Способ Эрастофена

Эрастофен жил в городе Александрия, расположенном на севере Египта неподалеку от устья реки Нил на побережье Средиземного моря. Он знал, что в определенный день всякого года в городе Сиена на юге Египта на дне колодцев не было ясной тени. То есть Светило в тот момент находится прямо над головой. Впрочем в Александрии, располагавшейся севернее Сиены, даже в день летнего солнцестояния Светило никогда не бывает прямо над головой. Эрастофен осознал, что дозволено определить, насколько Светило смещено от расположения «прямо над головой», измерив угол, образованный тенью от вертикального объекта. Он измерил длину тени от высокой башни в Александрии и, применяя геометрию, вычислил угол между тенью и вертикальной башней. Он оказался равен приблизительно 7,2 градуса.Дальше Эрастофен применял больше трудные геометрические построения. Предположил, что угол от тени верно такой, как между Александрией и Сиеной, если считать от центра Земли. Для комфорта посчитал, что 7,2 градуса составляет 1/50 часть полного круга. Дабы обнаружить длину окружности Земли, оставалось расстояние между Сиеной и Александрией умножить на 50. По данным Эрастофена, расстояние между городами составляло 5 тыс. стадиев. Но всеобщей единицы длины в те дальнии времена не существовало, и сегодня незнакомо, каким именно стадием пользовался Эрастофен. Если он использовал египетский, составлявший 157,5 м, радиус Земли равнялся 6287 км. Погрешность в таком случае была 1,6%. А если применял больше общеизвестный греческий стадий, равный 185 м, погрешность составляла бы 16,3%. В любом случае точность вычислений достаточно классная для того времени.

Автобиография и научная действие Эрастофена

Считается, что Эрастофен родился в 276 году до нашей эпохи в городе Кирены, тот, что находился на территории нынешней Ливии. Учился в течение нескольких лет в Афинах. Существенную часть своей взрослой жизни провел в Александрии. Скончался в 194 году до нашей эпохи в возрасте 82 года. По некоторым версиям, сам себя уморил голодом, позже того как ослеп. Длинное время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую известную библиотеку старинного мира. Помимо того, что он вычислил размер нашей планеты, сделал еще ряд значимых изобретений и открытий. Изобрел нехитрый способ определять примитивные числа, называемый сейчас «решето Эрастофена». Нарисовал «карту мира», в которой показал все части света, знаменитые на тот момент старинным грекам. Карта считалась одной из наилучших для своего времени. Разработал систему долготы и широты и календарь, включавший високосные годы. Изобрел армиллярную сферу, механическое устройство, используемое ранними астрономами, дабы показывать и предсказывать видимое движение звезд на небе. Также составил звездный каталог, включавший в себя 675 звезд.