Как вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Как вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Графики 2-х функций на всеобщем промежутке образуют определенную фигуру. Дабы вычислить ее площадь, нужно проинтегрировать разность функций. Границы всеобщего промежутка могут быть заданы первоначально либо являться точками пересечений 2-х графиков.

Инструкция

1. При построении графиков 2-х заданных функций в области их пересечения образуется замкнутая фигура, ограниченная этими кривыми и двумя прямыми линиями х=а и х=b, где а и b – концы рассматриваемого промежутка. Эту фигуру визуально отображают штрихом. Ее площадь дозволено вычислить, проинтегрировав разность функций.

2. Функция, расположенная выше на графике, является большей величиной, следственно, в формуле ее выражение будет стоять первым: S = ?f1 – ?f2, где f1 > f2 на интервале [а, b]. Однако, приняв во внимание, что количественная колляция всякого геометрического объекта является величиной правильной, дозволено вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций, по модулю:S = |?f1 – ?f2|.

3. Такой вариант тем больше комфортен, если нет вероятности либо времени на построение графика. При вычислении определенного интеграла пользуются правилом Ньютона-Лейбница, которое полагает подстановку в финальный итог предельных значений промежутка. Тогда площадь фигуры равна разности 2-х значений первообразной, обнаруженной на этапе интегрирования, из большего F(b) и меньшего F(а).

4. Изредка замкнутая фигура на заданном промежутке образуется путем полного пересечения графиков функций, т.е. концы промежутка являются точками, принадлежащими обеим кривым. Скажем: обнаружьте точки пересечения линий у = х/2 + 5 и у = 3•х – х?/4 + 3 и вычислите площадь.

5. Решение.Дабы обнаружить точки пересечения, составьте уравнение:х/2 + 5 = 3•х – х?/4 + 3 ? х? – 10•х + 8 = 0D = 100 – 64 = 36 ? х1,2 = (10 ± 6)/2.

6. Выходит, вы обнаружили концы промежутка интегрирования [2; 8]:S = |? (3•х – х?/4 + 3 – х/2 – 5)dх| = |(5•х?/4 – х?/12 – 2•х)| ? 59.

7. Разглядите иной пример: у1 = ?(4•х + 5); у2 = х и дано уравнение прямой х = 3.В этой задаче дан только один конец промежутка х=3. Это значит, что второе значение требуется обнаружить из графика. Постройте линии, заданные функциями у1 и у2. Видимо, что значение х=3 является верхним лимитацией, следственно, необходимо определить нижний предел. Для этого приравняйте выражения:?(4•х + 5) = х ??4•х + 5 = х? ? х? – 4•х – 5 = 0

8. Обнаружьте корни уравнения:D = 16 + 20 = 36 ? х1 = 5; х2 = -1.Посмотрите на график, нижним значением промежутка является -1. От того что у1 расположено выше у2, то:S = ?(?(4•х + 5) – х)dх на интервале [-1; 3].S = (1/3•?((4•х + 5)?) – х?/2) = 19.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий