Как вписать круг в прямоугольный треугольник

Совет 1: Как вписать круг в прямоугольный треугольник

Прямоугольным называют треугольник, один из углов которого равен 90°. Как и в всякий иной, в него дозволено вписать круг. Такой круг может быть только один, радиус его определяется длинами сторон, а центр лежит в точке пересечения биссектрис углов. Возвести вписанную окружность дозволено несколькими методами – как с применением формул и вычислений, так и без них.



Вам понадобится

  • Чертеж с треугольником, транспортир, циркуль, линейка, карандаш.

Инструкция

1. Обнаружьте точку, которая будет центром вписанной окружности. Она должна лежать на пересечении биссектрис углов в вершинах треугольника, следственно вначале приложите транспортир к одному из углов, определите его величину и поставьте вспомогательную точку на отметке, равной половине этой величины. Проведите отрезок из вершины этого угла – он должен пройти через вспомогательную точку и закончиться на противолежащей стороне. Таким же методом постройте биссектрису иного угла. Точка пересечения 2-х вспомогательных отрезков будет центром вписанной окружности.

2. Определите радиус круга. Для этого проведите еще один вспомогательный отрезок. Он должен начинаться в обнаруженной точке, заканчиваться на одном из катетов и быть параллельным иному катету. Длина этого отрезка и будет радиусом вписанной окружности – отложите ее на циркуле и начертите круг с центром в обнаруженной точке. На этом построение будет закончено.

3. Дозволено начертить вписанную окружность по-иному – с применением формулы из курса элементарной геометрии. Для этого вам необходимо знать длины всех сторон – измерьте их. После этого рассчитайте радиус (r) – сложите длины катетов (a и b), отнимите от итога длину гипотенузы (c), а то, что получилось, поделите напополам: r = (a+b-c)/2. Отложите обнаруженную величину на циркуле и до конца построения не меняйте этого расстояния.

4. Установите циркуль в вершину прямого угла и начертите вспомогательную дугу – она должна пересекать оба катета. Собственно, только точки пересечения вам и необходимы, следственно взамен дуги дозволено примитивно поставить метки на катетах. Эти метки указывают точки касания вписанной окружности и сторон треугольника.

5. Установите циркуль в всякую из точек касания и проведите два полукруга, лежащих внутри треугольника. Точка их пересечения будет центром вписанной окружности – установите в нее циркуль и проведите вписанный в прямоугольный треугольник круг.

Совет 2: Как вписать треугольник в окружность

Если окружность касается всех 3 сторон данного треугольника, а её центр находится внутри треугольника, то ее называют вписанной в треугольник.



Вам понадобится

  • линейка, циркуль

Инструкция

1. В всякий треугольник дозволено вписать окружность. Такая окружность будет единственно допустимой.

2. Центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.Из вершин треугольника (стороны противоположной делимому углу) циркулем проводят дуги окружности произвольного радиуса до пересечения их между собой;Точку пересечения дуг по линейке соединяют с вершиной делимого угла;Тоже самое проделывают с любым иным углом;

Как вписать треугольник в окружность

3. Радиусом вписанной в треугольник окружности будет отношение площади треугольника и его полупериметра: r=S/p , где S – площадь треугольника, а p=(a+b+c)/2 – полупериметр треугольника.Радиус вписанной в треугольник окружности равноудален от всех сторон треугольника.

Совет 3: Как вписать треугольник в круг

Если все вершины треугольника лежат на одной окружности, то в этом случае он именуется вписанным, а окружность, соответственно — описанной вокруг него. Возвести треугольник на знаменитой окружности дюже легко, но как вписать треугольник в круг, если первоначально существует именно он?



Вам понадобится

  • – циркуль;
  • – бумага;
  • – карандаш;
  • – линейка.

Инструкция

1. Для всякого треугольника неизменно допустимо возвести описанную окружность, от того что эта кривая однозначно определяется тремя заданными точками.Дабы это найти, довольно предположить, что треугольник задан декартовыми координатами своих вершин. В этом случае радиус и координаты центра окружности, проходящей через все три точки, обязаны быть решениями системы из 3 уравнений 2-й степени с тремя неведомыми.Эта система будет иметь исключительное решение в том случае, если заданные точки не лежат на одной прямой (в этом последнем случае она совсем не имеет решений). Но три точки, лежащие на одной прямой, не могут быть вершинами треугольника, следственно, данный случай дозволено даже не рассматривать. Выходит, решение заведомо существует.

2. Дабы треугольник был вписан в окружность, видимо, требуется, дабы ее центр находился на равном расстоянии от всех 3 его вершин. Задача, таким образом, сводится к нахождению центра описанной окружности.

3. Сторона вписанного треугольника будет являться хордой описанной окружности. Для всякий такой хорды существует перпендикулярный к ней радиус, причем точка их пересечения делит хорду ровно напополам.Следственно, всякий срединный перпендикуляр треугольника (то есть прямая, проходящая через середину его стороны и перпендикулярная ей) проходит через центр описанной окружности. Довольно провести два таких перпендикуляра, и точка их пересечения будет центром. Радиус же описанной окружности однозначно определяется расстоянием до всякий из вершин.

4. Процедура деления отрезка напополам циркулем и линейкой представляет собой, по сути, построение срединного перпендикуляра. Таким образом, задача нахождения центра описанной окружности сводится к делению циркулем и линейкой 2-х сторон треугольника.

5. Если данный треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой его гипотенузы.

Видео по теме

Совет 4: Как возвести вписанный треугольник

Вписанным именуется такой треугольник, все вершины которого находятся на окружности. Возвести его дозволено, если знать правда бы одну сторону и угол. Окружность именуется описанной, и она будет исключительной для данного треугольника.



Вам понадобится

  • – окружность;
  • – сторона и угол треугольника;
  • – лист бумаги;
  • – циркуль;
  • – линейка;
  • – транспортир;
  • – калькулятор.

Инструкция

1. Постройте окружность с заданным радиусом. Обозначьте ее центр как О. Определите на окружности произвольную точку, с которой вы начнете построение. Пускай это будет точка А.

Начертите окружность и обнаружьте на ней произвольную точку

2. Разведите ножки циркуля на расстояние, равное заданной стороне треугольника. Поставьте иголку в точку А и опрятно поворачивайте циркуль так, дабы его грифель оказался на окружности. Обозначьте точку В и объедините ее с точкой А.

С поддержкой циркуля обнаружьте точку В, отстоящую от точки А на расстояние, равное стороне треугольника

3. От точки А с подмогой транспортира отложите данный угол. Продолжите сторону угла до пересечения с окружностью и поставьте точку С. Объедините точки В и С. У вас получился треугольник АВС. Он может быть всякого типа. Центр окружности у остроугольного треугольника находится внутри него, у тупоугольного – вне, а у прямоугольного – на гипотенузе. Если вам задан не угол, а, скажем, три стороны треугольника, вычислите один из углов по радиусу и знаменитой стороне.

Отложите данный угол, продолжите его сторону до пересечения с окружностью и объедините получившуюся точку с точкой В

4. Гораздо почаще доводится иметь дело с обратным построением, когда задан треугольник и нужно вокруг него описать окружность. Вычислите его радиус. Сделать это дозволено по нескольким формулам, в зависимости от того, что вам дано. Радиус дозволено обнаружить, скажем, по стороне и синусу противолежащего угла. В этом случае он равен длине стороны, поделенной на удвоенный синус противолежащего угла. То есть R=a/2sinCAB. Дозволено его выразить и через произведение сторон, в этом случае R=abc/??(?a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

5. Определите центр окружности. Поделите все стороны напополам и проведите серединам перпендикуляры. Точка их пересечения и будет центром окружности. Начертите ее так, дабы она пересекла все вершины углов.

Определите центр окружности

Совет 5: Как начертить прямоугольный треугольник

Две короткие стороны прямоугольного треугольника, которые принято называть катетами, по определению обязаны быть перпендикулярны между собой. Это качество фигуры гораздо облегчает ее построение. Впрочем вероятность верно определить перпендикулярность есть не неизменно. В таких случаях дозволено рассчитать длины всех сторон – они дозволят возвести треугольник единственно допустимым, а следственно верным, методом.



Вам понадобится

  • Бумага, карандаш, линейка, транспортир, циркуль, угольник.

Инструкция

1. Если требуется начертить прямоугольный треугольник произвольных размеров, то начните с одного из катетов. Поставьте точку, которая будет вершиной 90° угла, и проведите горизонтальную отрезок подходящей длины. После этого из той же точки проведите вертикальный отрезок – 2-й катет. Он должен быть сурово перпендикулярен горизонтальной стороне треугольника .

2. Если применяемая для построения бумага не размечена «в клеточку», то воспользуйтесь угольником для такого построения. Если и его нет, задействуйте транспортир. После этого объедините оба отрезка третьей линией – это будет гипотенуза прямоугольного треугольника . На этом построение будет закончено.

3. Если требуется возвести фигуру с заданными в начальных условиях параметрами, то может понадобиться проведение заблаговременных вычислений. При отсутствии бумаги в клеточку, транспортира и угольника для построения нужно знать длины всех сторон треугольника . Если не все они даны в начальных условиях, то придется по вестимым формулам рассчитать недостающие.

4. При вестимых длинах 2-х катетов длину третьей стороны определите в соответствии с теоремой Пифагора – возведите всякую из длин в квадрат, итоги сложите и извлеките из полученного значения квадратный корень. А если в условиях дана длина гипотенузы и величина одного из острых углов, то вначале воспользуйтесь теоремой синусов дли нахождения длины одного из катетов – умножьте длину вестимой стороны на синус этого угла. После этого с поддержкой теоремы Пифагора определите длину иного катета. Подобно рассчитайте длины при других комплектах начальных данных.

5. Начинайте построение, когда будут рассчитаны длины всех сторон. Поставьте точку в вершине грядущего прямого угла и по линейке проведите отрезок с длиной одного из катетов. После этого отложите на циркуле длину гипотенузы и проведите полукруг с центром в конце этого отрезка – он должен быть направлен в сторону поставленной в начале построения точки.

6. Отложите на циркуле длину второго катета, установите его в ту же исходную точку и подметьте место пересечения начерченного полукруга с воображаемым кругом отмеренного радиуса. После этого объедините подмеченное место с исходной точкой (это будет 2-й катет) и с окончанием проведенного ранее отрезка (это – гипотенуза). На этом построение будет закончено.

Видео по теме

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий