Как составить уравнение окружности

Совет 1: Как составить уравнение окружности

Окружность — общность точек, лежащих на расстоянии R от заданной точки (центра окружности ). Уравнением окружности в декартовых координатах именуется такое уравнение, что для всякий точки, лежащей на окружности , ее координаты (x, y) удовлетворяют этому уравнению, а для всякий точки, не лежащей на окружности — не удовлетворяют.

Инструкция

1. Представим, что ваша задача — составить уравнение окружности заданного радиуса R, центр которой находится в начале координат. Окружность, по определению — уйма точек, находящихся на заданном расстоянии от центра. Это расстояние как раз и равно радиусу R.

2. Расстояние от точки (x, y) до центра координат равно длине отрезка, соединяющего ее с точкой (0, 0). Данный отрезок совместно с его проекциями на координатные оси составляют прямоугольный треугольник, катеты которого равны x0 и y0, а гипотенуза, по теореме Пифагора, равна ?(x^2 + y^2).

3. Дабы получить окружность, вам необходимо уравнение, определяющее все точки, для которых это расстояние будет равно R. Таким образом:?(x^2 + y^2) = R, а следственно,x^2 + y^2 = R^2.

4. Аналогичным методом составляется уравнение окружности радиусом R, центр которой находится в точке (x0, y0). Расстояние от произвольной точки (x, y) до заданной точки (x0, y0) равно ?((x – x0)^2 + (y – y0)^2). Следственно, уравнение требуемой вам окружности будет выглядеть так:(x – x0)^2 + (y – y0)^2 = R^2.

5. Вам может потребоваться также составить уравнение окружности с центром в точке координат, проходящей через заданную точку (x0, y0). В этом случае радиус желанной окружности не задан в очевидном виде, и его придется вычислять. Видимо, он будет равен расстоянию от точки (x0, y0) до начала координат, то есть ?(x0^2 + y0^2). Подставляя это значение в теснее выведенное уравнение окружности , вы получите:x^2 + y^2 = x0^2 + y0^2.

6. Если вам предстоит возвести окружность по выведенным формулам, то их придется разрешать касательно y. Даже самое примитивное из этих уравнений при этом превращается в:y = ±?(R^2 – x^2).Знак ± нужен тут потому, что квадратный корень числа неизменно неотрицателен, а это значит, что без знака ± такое уравнение описывает только верхнюю полуокружность.Дабы возвести окружность, комфортнее составить ее параметрическое уравнение, в котором обе координаты x и y зависят от параметра t.

7. Согласно определению тригонометрических функций, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1, а один из углов при гипотенузе равен ?, то прилежащий к нему катет равен cos(?), а противолежащий — sin(?). Таким образом, sin(?)^2 + cos(?)^2 = 1 для всякого ?.

8. Представим, вам дана окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Возьмем всякую точку (x, y) на этой окружности и проведем от нее отрезок к центру. Данный отрезок образует угол с позитивной полуосью x, тот, что может быть равен от 0 до 360° либо от 0 до 2? радиан. Обозначая данный угол t, вы получите связанность:x = cos(t),y = sin(t).

9. Эту формулу дозволено обобщить на случай окружности радиуса R с центром в произвольной точке (x0, y0):x = R*cos(t) + x0,y = R*sin(t) + y0.

Совет 2: Как обнаружить уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности дозволяет узнать несколько значимых сведений об этой фигуре, скажем, координаты ее центра, длину радиуса. В некоторых задачах, напротив, по заданным параметрам требуется составить уравнение.

Инструкция

1. Проверьте, указаны ли в условиях задачи координаты центральной точки окружности и длина радиуса в очевидном виде. В этом случае вам довольно подставить данные в стандартную запись уравнения, дабы получить результат.

2. Определите, какими сведениями об окружности вы располагаете, исходя из данной вам задачи. Запомните, что финальной целью является надобность определить координаты центра, а также диаметр. Все ваши действия обязаны быть направлены на достижение именно этого итога.

3. Используйте данные о наличии точек пересечения с координатными прямыми либо другими прямыми. Обратите внимание, что, если окружность проходит через ось абсцисс, вторая точка пересечения будет иметь координату 0, а если через ось ординат – то первая. Эти координаты дозволят вам обнаружить координаты центра окружности, а также вычислить радиус.

4. Не забывайте об основных свойствах секущих и касательных. В частности, особенно пригодной оказывается теорема о том, что в точке касания радиус и касательная образуют прямой угол. Но обратите внимание на то, что вас могут попросить подтвердить все использованные в ходе решения теоремы.

5. Прорешайте особенно типовые типы задач, дабы обучиться сразу видеть, как применять те либо иные данные для приобретения уравнения окружности. Так, помимо теснее указанных задач с прямо заданными координатами и теми, в условиях которых даны данные о наличии точек пересечения, для составления уравнения окружности дозволено воспользоваться познаниями о центре окружности, длине хорды и уравнения прямой, на которой эта хорда лежит.

6. Для решения постройте равнобедренный треугольник, основанием которого будет данная хорда, а равные стороны – радиусами. Составьте систему уравнений, из которой вы легко обнаружите нужные данные. Для этого довольно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка в координатной плоскости.

Видео по теме

Совет 3: Как составить параметрическое уравнение

В зависимости от условий задачи и требований, предъявленных в ней, может понадобиться обратиться к каноническому либо параметрическому методу задания прямой. Решая геометрические задачи, пробуйте заблаговременно выписать все допустимые варианты уравнений.

Инструкция

1. Проверьте присутствие всех нужных параметров для составления параметрического уравнения. Соответственно, вам понадобятся координаты точки, принадлежащей этой прямой, а также направляющего вектора. Таковым будет всякий вектор, проходящий параллельно этой прямой. Параметричское задание прямой представляет собой систему из 2-х уравнений х = х0+txt, y = y0+tyt, где (х0, у0) – координаты точки, лежащей на данной прямой, а (tx, ty) – координаты направляющего вектора по осям абсцисс и ординат, соответственно.

2. Не забывайте, что параметрическое уравнение полагает надобность выразить существующую между двумя (в случае прямой) переменными посредством некоторого третьего параметра.

3. Запишите каноническое уравнение прямой, исходя из имеющихся у вас данных: координаты направляющего вектора на соответствующих осях являются множителями параметрической переменной, а координаты принадлежащей прямой точки – свободными членами параметрического уравнения.

4. Обратите внимание на все данные, прописанные в задаче, если вам кажется, что не хватает данных. Так, подсказкой для составления параметрического уравнения прямой может стать указание векторов, перпендикулярных направляющему либо расположенных к ней под определенным углом. Используйте данные перпендикулярности векторов: это допустимо только в случае, если их скалярное произведение равно нулю.

5. Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки: их координаты дают вам нужные данные для определения координат направляющего вектора. Запишите две дроби: в числителе первой должна стоять разность х и координаты по оси абсцисс одной из точек, принадлежащих прямой, в знаменателе – разность между координатами по оси абсцисс обеих данных точек. Запишите таким же образом дробь для значений по оси ординат. Полученные дроби приравняйте к параметру (его принято обозначать буквой t) и выразите через него сперва х, после этого у. Система уравнений, ставшая результатом этих реформирований, и будет параметрическим уравнением прямой.

Видео по теме

Совет 4: Как составить уравнение плоскости через точку и прямую

Любая плоскость может быть задана линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0. Обратно, всякое такое уравнение определяет плоскость. Дабы составить уравнение плоскости , проходящей через точку и прямую, нужно знать координаты точки и уравнение прямой.



Вам понадобится

  • – координаты точки;
  • – уравнение прямой.

Инструкция

1. Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2), имеет вид: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Соответственно, из уравнения (x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C легко дозволено выделить координаты 2-х точек.

2. Из 3 точек плоскости дозволено составить уравнение, однозначно задающее плоскость. Пускай имеются три точки с координатами (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3). Запишите детерминант:(x-x1) (y-y1) (z-z1)(x2-x1) (y2-y1) (z2-z1)(x3-x1) (y3-y1) (z3-z1)Приравняйте определитель нулю. Это и будет уравнение плоскости. Его дозволено оставить и в таком виде, а дозволено расписать, раскрыв детерминант:(x-x1)(y2-y1)(z3-z1)+(x3-x1)(y-y1)(z2-z1)+(z-z1)(x2-x1)(y3-y1)-(z-z1)(y2-y1)(x3-x1)-(z3-z1)(y-y1)(x2-x1)-(x-x1)(z2-z1)(y3-y1). Работа заботливая и, как водится, излишняя, чай проще припомнить о свойствах определителя, равного нулю.

3. Пример. Составьте уравнение плоскости, если вестимо, что она проходит через точку M(2,3,4) и прямую (x-1)/3=y/5=(z-2)/4.Решение. Сначала нужно преобразовать уравнение прямой.(x-1)/(4-1)=(y-0)/(5-0)=(z-2)/(6-2). Отсель легко выделить две точки, очевидно принадлежащие данной прямой. Это (1,0,2) и (4,5,6). Всё, три точки есть, дозволено составлять уравнение плоскости.(x-1) (y-0) (z-2)(4-1) (5-0) (6-2)(2-1) (3-0) (4-2)Детерминант осталось приравнять нулю и упростить.

4. Итого: (x-1) y (z-2)3 5 41 3 2 =(x-1)·5·2+1·y·4+(z-2)·3·3-(z-2)·5·1-(x-1)·4·3-2·y·3=10x-10+4y+9z-18-5z+10-12x+12-6y=-2x-2y+4z-6=0.Ответ. Желанное уравнение плоскости -2x-2y+4z-6=0.

Полезный совет
Плоскость и прямую дозволено задать также каноническим, параметрическим, векторно-параметрическим и типичным уравнением. Прямая может быть задана также в отрезках и через угловой показатель. Все методы задания могут быть переведены из одного в иной.

Совет 5: Как составить характеристическое уравнение

Характеристические уравнения, на основе которых вычисляются, раньше каждого, личные числа (значения), обнаружили крупное использование в математике, физике и технике. Их дозволено встретить в решениях задач механического регулирования, решениях систем дифференциальных уравнений и т. п.

Инструкция

1. К результату на вопрос следует подходить на основе рассмотрения простейших задач, для решения которых могут понадобиться характеристические уравнения. Раньше каждого – это решение типичной однородной системы однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ). Ее вид приведен на рисунке 1.Рассматривая обозначения, приведенные на рис. 1. Перепишите систему в матричном виде.Получите Y’=AY.

2. Вестимо, что фундаментальная система решений (ФСР), рассматриваемой задачи, находится в виде Y=exp[kx]B, где В – столбец непрерывных. Тогда Y’=kY. Появляется система АY-kEY=0 (E – единичная матрица). Либо (А-kE)Y=0. Требуются обнаружить ненулевые решения, следственно эта система однородных уравнений имеет вырожденную матрицу и, соответственно, определитель такой матрицы равен нулю. В развернутом виде данный определитель (см. рис. 2).На рис. 2 в виде определителя записано алгебраическое уравнение n-го порядка и его решения дозволяют составить ФСР начальной системы. Это уравнение названо характеристическим.

3. Сейчас разглядите ЛОДУ n-го порядка (cм. рис. 3).Если левую его часть обозначить как линейный дифференциальный оператор L[y], то ЛОДУ перепишется в виде L[y]=0. Если искать решения ЛОДУ в виде y=exp(kx), то y’=kexp(kx), y’’=(k^2)exp(kx), …, y^(n-1)=(k^(n-1))exp(kx), y^n=(k^n)exp(kx) и, позже сокращения на y=exp(kx), получится уравнение: k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)k+an=0, которое также именуется характеристическим.

4. Для того дабы удостовериться, что суть последнего характеристического уравнения осталась бывшей (то есть что это не какой-то другой объект), перейдите от ЛОДУ n-го порядка к типичной системе ЛОДУ путем последовательных подстановок. Первая из них y1=y, а далееy1’=y2, y2’1=y3, …, y(n-1)’ = yn, yn’=-an*y1-a(n-2)*yn-…-a1*y(n-1).

5. Запишите возникшую систему, составьте ее характеристическое уравнение в виде определителя, раскройте его и удостоверитесь в том, что получилось характеристическое уравнений для ЛОДУ n-го порядка. Заодно появляется и заявление о фундаментальном смысле характеристического уравнения.

6. Перейдите к всеобщей задаче поиска собственных чисел линейных реформирований (они могут быть и дифференциальными), что включает в себя стадию составления характеристического уравнения. Число k называют собственным значением (числом) линейного реформирования А, если существует вектор х такой, что Ax=kx.От того что всему линейному реформированию однозначно может быть поставлена его матрица, то задача сводится к составлению характеристического уравнения для некоторой квадратной матрицы. Делается это в точности потому что и в исходном примере для типичных систем ЛОДУ. Легко замените символы y на х, если позже записи характеристического уравнения последуют еще какие-то действия. Если же нет, то этого делать не стоит. Примитивно берите матрицу А (см. рис. 1) и записывайте результат в виде определителя (см. рис.2). Позже раскрытия определителя работа закончена.

Совет 6: Как решать химические уравнения

Химическое уравнение – это реакция, выраженная с поддержкой формул. Химическое уравнение показывает, какие вещества вступают в реакцию и какие в результате этой реакции получатся вещества. В основе составления химических уравнений лежит закон сохранения массы. Так же оно показывает количественное соотношение веществ, которые участвуют в химической реакции. Дабы решить химическое уравнение, нужно знать определенные методы, способы, подходы к этому процессу. Дозволено следовать такому алгорифму для решения химических уравнений.

Инструкция

1. Наблюдательно изучите условие задачи и запишите его коротко. Составьте уравнение химической реакции.

2. После этого над составленным уравнением запишите знаменитые и незнакомые величины, при этом укажите соответствующие единицы измерения (только для чистых веществ, не имеющих примесей).В том случае, когда в реакцию вступают те вещества, которые содержат примеси, вначале определите оглавление чистого вещества.

3. Под формулами веществ с незнакомыми и знаменитыми запишите соответствующие значения этих величин, которые были обнаружены по уравнению химической реакции.Сейчас составьте и решите пропорцию.Запишите результат.Следует помнить, что химические уравнения отличаются от математических уравнений, в них невозможно менять местами левую часть и правую. Вещества левой части химического уравнения носят наименование реагенты, а правой – продукты реакции. Если произвести перегруппировку правой и левой части, то получится уравнение вовсе иной химической реакции. Позже того, как вы обучитесь решать химические уравнения , сам процесс решения станет интересным, аналогично разгадыванию кроссвордов. А обучиться решать такие уравнения дозволено только одним путем – планомерно тренироваться в решение химических уравнений.

Совет 7: Как вычислить уравнение прямой

Уравнение прямой дозволяет однозначно определить ее расположение в пространстве. Прямая может быть задана двумя точками, как линия пересечения 2-х плоскостей, точкой и коллинеарным вектором. В зависимости от этого обнаружить уравнение прямой дозволено несколькими методами.

Инструкция

1. Если прямая задана двумя точками, обнаружьте ее уравнение по формуле (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Подставьте координаты первой точки (х1,у1,z1) и 2-й точки (х2,у2,z2) в уравнение и упростите выражение.

2. Допустимо, точки вам заданы лишь двумя координатами, скажем, (х1, у1) и (х2,у2), в таком случае уравнение прямой обнаружьте по упрощенной формуле (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1). Дабы сделать его больше наглядным и комфортным, выразите у через х – приведите уравнение к виду у=kх+b.

3. Для того дабы обнаружить уравнение прямой , являющейся линией пересечения 2-х плоскостей, составьте уравнения этих плоскостей в систему и решите ее. Как водится, плоскость задана выражением вида Ах+Ву+Сz+D=0. Таким образом, решая систему А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 касательно незнакомых х и у (то есть z вы берете как параметр либо число), вы получите два приведенных уравнения: х=mz+a и y=nz+b.

4. Если есть надобность, из приведенных уравнений получите каноническое уравнение прямой . Для этого выразите z из всего уравнения и приравняйте полученные выражения: (х-а)/m=(y-b)/n=z/1. Вектор с координатами (m,n,1) будет направляющим вектором этой прямой .

5. Прямая может быть также задана точкой и коллинеарным (сонаправленным) ей вектором, в таком случае для поиска уравнения воспользуйтесь формулой (х-х1)/m=(y-y1)/n=(z-z1)/p, где (х1,у1,z1) – координаты точки, а (m,n,p) – коллинеарный вектор.

6. Для того дабы определить уравнение прямой , заданной графически на плоскости, обнаружьте точку ее пересечения с осями координат и подставьте в уравнение. В случае, если знаменит угол ее наклона к оси ох, вам довольно будет обнаружить тангенс этого угла (это будет показатель перед х в уравнении) и точку пересечения с осью оу (это будет вольный член уравнения).

Видео по теме

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий