Как решить несобственный интеграл
Интегральное исчисление представляет собой достаточно обширную область математики, его способы решения применяются и в иных дисциплинах, скажем, физике. Несобственные интегралы является достаточно трудным представлением, при постижении которого следует опираться на отличные базовые познания по этой теме.
Инструкция
1. Несобственный интеграл – это определенный интеграл с пределами интегрирования, один либо оба из которых являются безграничными. Интеграл с безмерным верхним пределом встречается почаще каждого. Следует учесть, что решение существует вдалеке не неизменно, при этом подынтегральная функция должна быть постоянной на промежутке [a; +?).
2. На графике такой несобственный интеграл выглядит как площадь криволинейной фигуры, не ограниченной с правой стороны. Может появиться мысль, что в таком случае он неизменно будет равен бесконечности, впрочем это правильно только если интеграл расходится. Как это ни парадоксально, но при условии сходимости он равен финальному числу. Помимо того, это число может быть негативным.
3. Пример: решите несобственный интеграл ?dx/x? на промежутке [1; +?).Решение.Чертеж исполнять необязательно. Видимо, что функция 1/x? постоянна в пределах интегрирования. Обнаружьте решение, применяя формулу Ньютона-Лейбница, которая в случае несобственного интеграла несколько видоизменяется:?f(x)dx = lim (F(b) – F(a)) при b ? ?.?dx/x? = -lim (1/x) = -lim (1/b -1/1) = [1/b = 0] = -(0 – 1) = 1.
4. Алгорифм решения несобственных интегралов с нижним либо двумя безмерным пределами интегрирования тот же. Скажем, решите ?dx/(x? + 1) на промежутке (-?; +?).Решение.Подынтегральная функция является постоянной на каждому своем протяжении, следственно согласно правилу разложения интеграл дозволено представить в виде суммы 2-х интегралов на промежутках, соответственно, (-?; 0] и [0; +?). Интеграл сходится, если сойдутся обе его части. Проверьте:?(-?; 0] dx/(x? + 1) = lim_(a?-?) artctg x = lim (0 – (arctg a)) = [artg a ? -?/2] = 0 – (-?/2) = ?/2;?[0; +?) dx/(x? + 1) = lim_(b?+?) artctg x = lim (arctg b) = [artg b ? ?/2] = ?/2;
5. Обе половинки интеграла сходятся, значит, сходится и он:?(-?; +?) dx/(x? + 1) = ?/2 + ?/2 = ?.Примечание: если правда бы одна из частей разойдется, то интеграл не имеет решения.
