Как решить неравенство логарифмов

Совет 1: Как решить неравенство логарифмов

Логарифмическое неравенство – это неравенство, содержащее в себе логарифмы. Если вы подготавливаетесь сдавать ЕГЭ по математике, главно уметь решать логарифмические уравнения и неравенства.

Инструкция

1. Переходя к постижению неравенств с логарифмами, вы обязаны теснее уметь решать логарифмические уравнения, знать свойства логарифмов , основное логарифмическое тождество.

2. Решение всех задач на логарифмы начинайте с нахождения ОДЗ – области возможных значений. Выражение под логарифмом должно быть позитивным, основание логарифма должно быть огромнее нуля и не равняться единице. Следите за равносильностью реформирований. ОДЗ на всем шаге должно оставаться одним и тем же.

3. При решении логарифмических неравенств главно, дабы с 2-х сторон от знака сопоставления были логарифмы, причем с одним и тем же основанием. Если с какой-нибудь стороны представлено число, запишите его в виде логарифма, применяя основное логарифмическое тождество. Число b равняется числу a в степени log, где log – логарифм b по основанию a. Основное логарифмическое пиршество является, по сути, определением логарифма.

4. Решая логарифмическое неравенство , обратите внимание на основание логарифма. Если оно огромнее единицы, то при избавлении от логарифмов , т.е. при переходе к простому числовому неравенству, знак неравенства остается тем же. Если основание логарифма от нуля до единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

5. Пригодно помнить ключевые свойства логарифмов . Логарифм единицы равен нулю, логарифм числа a по основанию a равен единице. Логарифм произведения равен сумме логарифмов , логарифм частного равен разности логарифмов . Если подлогарифменное выражение возводится в степень B, то ее дозволено перенести за знак логарифма. Если основание логарифма возводится в степень A, за знак логарифма дозволено перенести число 1/A.

6. Если основание логарифма представлено некоторым выражением Q, содержащим переменную x, нужно разглядеть два случая: Q(x) ? (1;+?) и Q(x) ? (0;1). Соответственно этому ставится и знак неравенства при переходе от логарифмического сопоставления к простому алгебраическому.

Совет 2: Как решать логарифмическое неравенство

Логарифмические неравенства – это неравенства, содержащие неведомое под знаком логарифма и (либо) в его основании. При решении логарифмических неравенств зачастую применяют следующие заявления.



Вам понадобится

  • Умение решать системы и общности неравенств

Инструкция

1. Если основание логарифма а>0, то неравенство logaF(x)>logaG(x) равносильно системе неравенств F(x)>G(x), F(x)>0, G(x)>0. Разглядим пример: lg(2x^2+4x+10)>lg(x^2-4x+3). Перейдем в равносильной системе неравенств: 2x^2+4x+10>x^2-4x+3, 2x^2+4x+10>0, x^2-4x+3>0. Решив эту систему, получаем решение данного неравенства: х принадлежит интервалам (-бесконечности,-7), (-1,1), (3,+бесконечности).

2. Если основание логарифма находится в промежутке от 0 до 1, то неравенство logaF(x)>logaG(x) равносильно системе неравенств F(x)0, G(x)>0. Скажем, log(x+25) по основанию 0.5>log(5x-10) по основанию 0,5. Перейдем в равносильной системе неравенств: x+25<8x-10, x+25>0, 8x-10>0. При решении данной системы неравенств, получаем x>5, что и будет являться решением изначального неравенства.

3. Если незнакомое стоит и под знаком логарифма и в его основании, то уравнение logF(x) по основанию h(x)>logG(x) по основанию h(x) равносильно общности систем: 1 система – h(x)>1, F(x)>G(x), F(x)>0, G(x)>0; 2 – 00, G(x)>0. Скажем, log(5-x) по основанию (x+2)/(x-3)>log(4-x) по основанию (x+2). Совершим равносильный переход к общности систем неравенств: 1 система – (x+2)/(x-3)>1, x+2>4-x, x+2>0, 4-x>0; 2 система – 0<(x+2)/(x-3)<1, x+2<4-x, x+2>0, 4-x>0. Решая данную общность систем, получаем 3

4. Некоторые логарифмические уравнения допустимо решить с поддержкой замены переменной. Скажем, (lgX)^2+lgX-2>=0. Обозначим lgX=t, тогда получаем уравнение t^2+t-2>=0, решая которое получаем t<=-2 либо t>=1. Таким образом получаем общность неравенств lgX<=2, lgX>=1. Решаем их, x>=10^(-2)? 00.

Видео по теме


Обратите внимание!
В 1-3 заявлениях могут стоять всякие знаки (>=,

Полезный совет
Логарифм с основанием 10, именуется десятичным и обозначается lgX.Логарифм с основанием 2,7 именуется естественным и обозначается lnX.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий