Совет 1: Как решать систему уравнений с двумя неизвестными

Уравнение – это тождество, где среди вестимых членов скрывается одно число, которое нужно поставить взамен латинской буквы, для того дабы с левой и правой стороны получилось идентичное числовое выражение. Дабы его обнаружить, надобно перенести в одну сторону все вестимые члены, в иную – все незнакомые члены уравнения. А как решать систему из 2-х таких уравнений? По отдельности – невозможно, следует связать желанные величины из системы друг с ином. Сделать это дозволено тремя методами: способом подстановки, способом сложения и способом построения графиков.

Инструкция

1. Метод сложения.Необходимо записать два уравнения сурово друг под ином: 2 –5у=61-9х+5у=-40.Дальше, сложить всякое слагаемое уравнений соответственно, рассматривая их знаки:2х+(-9х)=-7х, -5у+5у=0, 61+(-40)=21. Как водится, одна из сумм, содержащая неведомую величину, будет равна нулю. Составить уравнение из полученных членов:-7х+0=21.Обнаружить неведомое: -7х=21, ч=21:(-7)=-3.Подставить теснее обнаруженное значение в всякое из начальных уравнений и получить второе незнакомое, решив линейное уравнение:2х–5у=61, 2(-3)–5у=61, -6-5у=61, -5у=61+6, -5у=67, у=-13,4.Результат системы уравнений: х=-3, у=-13,4.

2. Метод подстановки.Из одного уравнения следует выразить всякое из желанных членов:х–5у=61-9х+4у=-7.х=61+5у, х=61+5у.Подставить получившееся уравнение во второе взамен числа «икс» (в данном случае):-9(61+5у)+4у=-7.Дальше решивлинейное уравнение, обнаружить число «игрек»:-549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у?11.В произвольно выбранное (из системы) уравнение вставить взамен теснее обнаруженного «игрека» число 11 и вычислить второе незнакомое:Х=61+5*11, х=61+55, х=116.Результат данной системы уравнений: х=116, у=11.

3. Графический метод.Заключается в фактическом нахождении координаты точки, в которой пересекаются прямые, математически записанные в системе уравнений. Следует начертить графики обоих прямых по отдельности в одной системе координат. Всеобщий вид уравнения прямой: – у=kх+b. Дабы возвести прямую, довольно обнаружить координаты 2-х точек, причем, х выбирается произвольно.Пускай дана система: 2х – у=4 у=-3х+1.Строится прямая по первому уравнению, для комфорта его необходимо записать: у=2х-4. Придумать (полегче) значения для икс, подставляя его в уравнение, решив его, обнаружить игрек. Получаются две точки, по которым строится прямая. (см рис.)х 0 1у -4 -2Строится прямая по второму уравнению: у=-3х+1.Так же возвести прямую. (см рис.)х 0 2у 1 -5Найти координаты точки пересечения 2-х построенных прямых на графике (если прямые не пересекаются, то система уравнений не имеет решения – так бывает).

Совет 2: Как решать систему уравнений по графикам

Система уравнений представляет собой общность математических записей, всякая из которых содержит некоторое число переменных. Существует несколько методов их решения.



Вам понадобится

• -линейка и карандаш;
• -калькулятор.

Инструкция

1. Решить систему уравнений – обозначает обнаружить уйма всех ее решений, либо подтвердить, что она их не имеет. Её принято записывать с поддержкой фигурной скобки.

2. Для решения системы уравнений с двумя переменными традиционно применяют следующие способы: графический метод, метод подстановки и метод сложения. Остановимся подробнее на первом из вышеперечисленных вариантов.

3. Разглядим последовательность решения системы, которая состоит из линейных уравнений имеющих вид: a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2. Где x и y – незнакомые переменные, а b,c – свободные члены. При использовании данного метода всякое решение системы представляет собой координаты точек прямых, соответствующих всем уравнению. Для начала в всяком случае выразите одну переменную через иную. После этого задайте переменной х несколько всяких значений. Довольно два. Подставьте в уравнение и обнаружьте y. Постройте систему координат, подметьте на ней полученные точки и проведите через них прямую. Схожие расчеты нужно провести и для других частей системы.

4. Точка либо точки пересечения построенных графиков и будут являться решением данной общности уравнений.

5. Система имеет исключительное решение, если построенные прямые пересекаются и имеют одну всеобщую точку. Она несовместна, если графики параллельны друг другу. И имеет беспредельно много решений, когда прямые сливаются друг с ином.

6. Данный метод считается дюже наглядным. Основным недостатком является то, что вычисленные незнакомые имеют приближенные значения. Больше точный итог дают так называемые алгебраические способы.

7. Всякое решение системы уравнений стоит проверить. Для этого подставьте взамен переменных полученные значения. Так же дозволено обнаружить его решение несколькими способами. Если решение системы правильное, то все результаты обязаны получиться идентичными.

Совет 3: Как обнаружить неведомое слагаемое

Зачастую встречаются уравнения, в которых одно из слагаемых незнакомо. Дабы решить такое уравнение, надобно запомнить и проделать с данными числами определенный комплект действий.



Вам понадобится

• – лист бумаги;
• – ручка либо карандаш.

Инструкция

1. Представьте, что перед вами 8 кроликов, а у вас есть только 5 морковок. Подумайте, сколько морковок вам надобно еще приобрести, дабы всему кролику досталось по морковке.

2. Предположим эту задачу в виде уравнения: 5 + x = 8. Подставим на место x число 3. Подлинно, 5 + 3 = 8.
3. При сложении числа, которые мы складываем, именуются слагаемыми, а полученное в итоге сложения число – суммой. Сумма должна быть огромнее знаменитого слагаемого либо равна ему.

4. Когда вы подставляли число на место x, вы проделывали ту же операцию, что и при вычитании 5 из 8. Таким образом, дабы обнаружить неизвестное слагаемое, вычтите из суммы вестимое слагаемое.

5. Возможен, у вас 20 кроликов и только 5 морковок. Составим уравнение. Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, значения которых требуется разыскать, именуются неведомыми. Составьте уравнение с одним неведомым, назовите его x. При решении нашей задачи про кроликов получается следующее уравнение: 5 + x = 20.

6. Обнаружим разницу между 20 и 5. При вычитании то число, из которого вычитают, именуется сокращаемое. То число, которое вычитают, именуется вычитаемое, а финальный итог именуется разностью. Выходит, x = 20 – 5; x = 15. Надобно приобрести 15 морковок для кроликов.

7. Сделайте проверку: 5 + 15 = 20. Уравнение решено правильно. Разумеется, когда речь идет о таких примитивных числах, проверку исполнять необязательно. Впрочем когда доводится решать уравнения с трехзначными, четырехзначными и тому сходственными числами, неукоснительно надобно исполнять проверку, дабы быть безусловно уверенным в итоге своей работы.

Видео по теме


Полезный совет
Дабы обнаружить незнакомое сокращаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.Дабы обнаружить незнакомое вычитаемое, нужно от сокращаемого отнять разность.

Совет 4: Как решить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными

Система из 3 уравнений с тремя неведомыми может и не иметь решений, невзирая на довольное число уравнений. Дозволено пытаться решить ее с поддержкой способа подстановки либо с подмогой способа Крамера. Способ Крамера помимо решения системы дозволяет оценить, является ли система разрешимой, до того, как разыскать значения незнакомых.

Инструкция

1. Способ подстановки заключается в последовательном выражении одной неведомой через две других и подстановке полученного итога в уравнения системы. Пускай дана система из 3 уравнений в всеобщем виде:a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3Выразите из первого уравнения x: x = (d1 – b1y – c1z)/a1 – и подставьте во второе и третье уравнения, после этого из второго уравнения выразите y и подставьте в третье. Вы получите линейное выражение для z через показатели уравнений системы. Сейчас идите “обратно”: подставьте z во второе уравнение и обнаружьте y, а после этого z и y подставьте в первое и обнаружьте x. Процесс в всеобщем виде отображен на рисунке до нахождения z. Дальше запись в всеобщем виде будет слишком массивной, на практике, подставив числа, вы достаточно легко обнаружите все три незнакомые.

2. Способ Крамера заключается в составлении матрицы системы и вычислении определителя этой матрицы, а также еще 3 вспомогательных матриц. Матрица системы составляется из показателей при незнакомых членах уравнений. Столбец, содержащий числа, стоящие в правых частях уравнений, именуется столбцом правых частей. В матрице системы он не применяется, но применяется при решении системы.

3. Пускай, как и прежде, дана система из 3 уравнений в всеобщем виде:a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3Тогда матрицей этой системы уравнений будет дальнейшая матрица:| a1 b1 c1 || a2 b2 c2 || a3 b3 c3 |Прежде каждого обнаружьте определитель матрицы системы. Формула нахождения определителя: |A| = a1b2c3 + a3b1c2 + a2b3c1 – a3b2c1 – a2b1c3 – a1b3с2. Если он не равен нулю, то система разрешима и имеет исключительное решение. Сейчас необходимо обнаружить определители еще 3 матриц, которые получаются из матрицы системы путем подставления столбца правых частей взамен первого столбца (эту матрицу обозначим Ax), взамен второго (Ay) и третьего (Az). Вычислите их определители. Тогда x = |Ax|/|A|, y = |Ay|/|A|, z = |Az|/|A|.

Совет 5: Как составить систему уравнений

Уравнением называют аналитическую запись задачи о разыскании значений доводов, при которых значения 2-х данных функций равны. Система – это общность уравнений , для которых требуется обнаружить значения неведомых, удовлетворяющих единовременно каждым этим уравнениям. Потому что удачное решение задачи немыслимо без верно составленной системы уравнений , нужно знать основные тезисы составления сходственных систем.

Инструкция

1. Во-первых, определите незнакомые величины, которые требуется обнаружить в данной задаче. Обозначьте их через переменные. Особенно распространенные переменные, используемые при решении систем уравнений , это x, y и z. В отдельных задачах комфортнее использовать общепризнанные обозначения, скажем, V для обозначения объема, либо a для обозначения убыстрения.

2. Пример. Пускай гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 м. Нужно определить катеты, если вестимо, что позже того, как один из них увеличить в 3 раза, а иной в 4, то сумма их длин составит 29 м. Для данной задачи нужно обозначить длины катетов через переменные x и y.

3. Дальше наблюдательно читайте условие задачи и объединяйте незнакомые величины уравнениями. Изредка связь между переменными будет очевидна. Скажем, в приведенном выше примере, катеты объединяет следующее соотношение.Если «один из них увеличить в 3 раза» (3 * x), «а иной в 4» (4 * y), «то сумма их длин составит 29 м»: 3 * x + 4 * y = 29.

4. Другое уравнение для данной задачи менее видимо. Оно кроется в условии задаче о том, что дан прямоугольный треугольник. Значит, дозволено применить теорему Пифагора. Т.е. x^2 + y^2 = 25. Итого получается два уравнения:3 * x + 4 * y = 29 и x^2 + y^2 = 25.Для того дабы система имела однозначное решение, число уравнений должно быть равно числу неведомых. В приведенном примере имеется две переменных и два уравнения. Значит, система имеет одно определенное решение: x = 3 м, y = 4 м.

5. При решении физических задач «неочевидные» уравнения могут заключаться в формулах, объединяющих физические величины. Скажем, пускай в условии задачи нужно обнаружить скорости пешеходов Va и Vb. Вестимо, что пешеход A проходит расстояние S на 3 часа неторопливей, чем пешеход B. Тогда дозволено составить уравнение, воспользовавшись формулой S = V * t, где S – это расстояние, V – скорость, t – время: S / Va = S / Vb + 3. Тут S / Va – это время, за которое пройдет заданное расстояние пешеход A. S / Vb – время, за которое пройдет заданное расстояние пешеход B. По условию это время на 3 часа поменьше.

Видео по теме


Обратите внимание!
Все уравнения в системе обязаны поставлять дополнительную само­стоятельную от других уравнений информацию. Напротив система будет недоопределена и однозначного решения обнаружить будет не допустимо.

Полезный совет
Позже решения системы уравнений подставьте обнаруженные значения в начальную систему и проверьте, что они удовлетворяют каждому уравнениям.

Совет 6: Как решить уравнение с тремя неизвестными

Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет уйма решений, следственно почаще каждого оно дополняется еще двумя уравнениями либо условиями. В зависимости от того, каковы начальные данные, во многом будет зависеть ход решения.



Вам понадобится

• – система из 3 уравнений с тремя неведомыми.

Инструкция

1. Если два из 3 уравнений системы имеют лишь две незнакомые из 3, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными . Ваша цель при этом – превратить его в обыкновенное уравнение с одной неведомой. Если это удалось, последующее решение достаточно примитивно – подставьте обнаруженное значение в другие уравнения и обнаружьте все остальные незнакомые.

2. Некоторые системы уравнений дозволено решить вычитанием из одного уравнения иного. Посмотрите, нет ли вероятности умножить одно из выражений на число либо переменную так, дабы при вычитании сократились сразу две незнакомые. Если такая вероятность есть, воспользуйтесь ею, скорее каждого, дальнейшее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число нужно умножать как левую часть, так и правую. Верно также, при вычитании уравнений нужно помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.

3. Если предыдущие методы не помогли, воспользуйтесь всеобщим методом решений всяких уравнений с тремя неизвестными . Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Сейчас составьте матрицу показателей при х (А), матрицу неведомых (Х) и матрицу свободных членов (В). Обратите внимание, умножая матрицу показателей на матрицу неведомых, вы получите матрицу, равную матрице свободных членов, то есть А*Х=В.

4. Обнаружьте матрицу А в степени (-1) заранее разыскав определитель матрицы, обратите внимание, он не должен быть равен нулю. Позже этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в итоге вы получите желанную матрицу Х, с указанием всех значений.

5. Обнаружить решение системы из 3 уравнений дозволено также с поддержкой способа Крамера. Для этого обнаружьте определитель третьего порядка ?, соответствующий матрице системы. После этого ступенчато обнаружьте еще три определителя ?1, ?2 и ?3, подставляя взамен значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Сейчас обнаружьте х: х1=?1/?, х2=?2/?, х3=?3/?.

Совет 7: Как решать систему уравнений

Приступая к решению системы уравнений, разберитесь с тем, какие это уравнения. Довольно отлично изучены методы решения линейных уравнений. Нелинейные уравнения почаще каждого не решаются. Имеются лишь одни частные случаи, весь из которых фактически личный. Следственно постижение приемов решения следует начать с уравнений именно линейных. Такие уравнения дозволено решать даже чисто алгоритмически.

Инструкция

1. Начните процесс обучения с постижения методов решения системы 2-х линейных уравнений с двумя неведомыми X и Y способом исключения. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Показатели уравнений обозначены индексами, указывающими их месторасположения. Так показатель a21 подчеркивает тот факт, что он записан во втором уравнении на первом месте. В общепризнанных обозначениях система записывается уравнениями расположенными друг под ином коллективно обозначаемых фигурной скобкой справа либо слева (подробнее см. рис. 1а).



2. Нумерация уравнений произвольна. Выберите из них самое примитивное, скажем то, в котором перед одной из переменных стоит показатель 1 либо по крайней мере целое число. Если это уравнение (1), то дальше выразите, скажем, неведомое Y через X (случай исключения Y). Для этого преобразуйте (1) к виду a12*Y=b1-a11*X (либо a11*X=b1-a12*Y при исключении Х)), а после этого Y=(b1-a11*X)/a12. Подставив последнее в уравнение (2) запишите a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2. Решите это уравнение касательно X. a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12; X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) либо X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).Воспользовавшись обнаруженной связью между Y и Х, окончательно получите и второе незнакомое Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21).

3. Если бы система была задана с определенными числовыми показателями, то и выкладки были бы менее массивны. Но всеобщее решение дает вероятность разглядеть тот факт, что знаменатели при обнаруженных незнакомых совершено идентичны. Да и у числителей просматриваются некоторые обоснованности их построения. Если размерность системы уравнений была бы большей 2-х, то способ исключения приводил бы к крайне массивным выкладкам. Дабы их избежать, разработаны чисто алгоритмические методы решения. Самый примитивный из них алгорифм Крамера (формулы Крамера). Для их постижения следует узнать, что такое всеобщая система уравнений из n уравнений.

4. Система n линейных алгебраических уравнений с n неведомыми имеет вид (см. рис. 1a). В ней аij – показатели системы, хj – незнакомые, bi – свободные члены (i=1, 2, … , n; j=1, 2, … , п). Суперкомпактно такую систему дозволено записывать в матричной форме АХ=B. Тут А – матрица показателей системы, Х – матрица-столбец неведомых, B – матрица-столбец свободных членов (см. рис 1b). По способу Крамера всякое незнакомое xi =?i/? (i=1,2…,n). Определитель ? матрицы показателей называют основным, а ?i вспомогательным. Для всякой незнакомой вспомогательный определитель находят с поддержкой замены i-го столбца основного определителя на столбец свободных членов. Детально способ Крамера для случая систем второго и третьего порядка представлен на рис. 2.



Видео по теме

Совет 8: Как решать системы методом сложения

Решение систем уравнений – довольно непростой раздел школьной программы. Впрочем в реальности существует несколько примитивных алгорифмов, которые разрешают делать это достаточно стремительно. Один из них – решение систем методом сложения.


Система линейных уравнений представляет собой объединение 2-х либо больше равенств, в всяком из которых имеется по два либо больше незнакомых. Существуют два основных метода решения систем линейных уравнений, которые применяются в границах школьной программы. Один из них носит наименование способа подстановки, иной – способа сложения.

Типовой вид системы из 2-х уравнений

При стандартном виде первое уравнение имеет вид a1*x+b1*y=с1, второе уравнение имеет вид a2*x+b2*y=c2 и так дальше. Скажем, в случае с двумя частями системы в обоих приведенных уравнениях a1, a2, b1, b2, c1, c2 – некоторые числовые показатели, представленные в определенных уравнениях. В свою очередь, x и у представляют собой неведомые, значения которых надобно определить. Желанные значения обращают оба уравнения единовременно в правильные равенства.

Решение системы методом сложения

Для того дабы решить систему методом сложения, то есть обнаружить те значения x и y, которые превратят их в правильные равенства, нужно предпринять несколько несложных шагов. 1-й из них заключается в реформировании всякого из уравнений таким образом, дабы числовые показатели для переменной x либо y в обоих уравнениях совпадали по модулю, но различались по знаку. Скажем, пускай задана система, состоящая из 2-х уравнений. Первое из них имеет вид 2x+4y=8, второе имеет вид 6x+2y=6. Одним из вариантов выполнения поставленной задачи является домножение второго уравнения на показатель -2, которое приведет его к виду -12x-4y=-12. Правильный выбор показателя является одной из ключевых задач в процессе решения системы методом сложения, от того что он определяет каждый последующий ход процедуры нахождения незнакомых.Сейчас нужно осуществить сложение 2-х уравнений системы. Видимо, взаимное истребление переменных с равными по значению, но противоположными по знаку показателями приведет его к виду -10x=-4. Позже этого нужно решить это примитивное уравнение, из которого однозначно следует, что x=0,4. Последним шагом в процессе решения является подстановка обнаруженного значения одной из переменных в всякое из изначальных равенств, имеющихся в системе. Скажем, подставляя x=0,4 в первое уравнение, дозволено получить выражение 2*0,4+4y=8, откуда y=1,8. Таким образом, x=0,4 и y=1,8 являются корнями приведенной в примере системы. Для того дабы удостовериться, что корни были обнаружены правильно, благотворно произвести проверку, подставив обнаруженные значения во второе уравнение системы. Скажем, в данном случае получается равенство вида 0,4*6+1,8*2=6, которое является правильным.

Видео по теме


Видео по теме


Полезный совет
Если одну и ту же систему уравнений решить тремя различными методами, результат получится идентичный (если решение правильно).