Совет 1: Как по сторонам треугольника узнать угол

Длины сторон треугольника связаны с углами в вершинах фигуры через тригонометрические функции – синус, косинус, тангенс и др. Эти соотношения сформулированы в теоремах и определениях функций через острые углы треугольника из курса элементарной геометрии. Применяя их, дозволено рассчитать величину угла по знаменитым длинам сторон треугольника.

Инструкция

1. Для вычисления всякого угла произвольного треугольника, длины сторон которого (a, b, c) вестимы, используйте теорему косинусов. Она заявляет, что квадрат длины всякий из сторон равен сумме квадратов длин 2-х других, из которой вычтено удвоенное произведение длин этих же 2-х сторон на косинус угла между ними. Применять эту теорему дозволено для расчета угла в всякий из вершин, значимо знать лишь его расположение касательно сторон. Скажем, дабы обнаружить угол ?, тот, что лежит между сторонами b и c, теорему нужно записать так: a? = b? + c? – 2*b*c*cos(?).

2. Выразите из формулы косинус желанного угла: cos(?) = (b?+c?-a?)/(2*b*c). К обеим частям равенства примените функцию, обратную косинусу – арккосинус. Она дозволяет по значению косинуса восстановить величину угла в градусах: arccos(cos(?)) = arccos((b?+c?-a?)/(2*b*c)). Левую часть дозволено упростить и формула вычисления угла между сторонами b и c приобретет окончательный вид: ? = arccos((b?+c?-a?)/2*b*c).

3. При нахождении величин острых углов в прямоугольном треугольнике познание длин всех сторон не неукоснительно, довольно 2-х из них. Если эти две стороны – катеты (a и b), поделите длину той, которая лежит наоборот желанного угла (?), на длину иной. Так вы получите значение тангенса надобного угла tg(?) = a/b, а применив к обеим частям равенства обратную функцию – арктангенс – и упростив, как и в предыдущем шаге, левую часть, выведите окончательную формулу: ? = arctg(a/b).

4. Если вестимые стороны прямоугольного треугольника – катет (a) и гипотенуза (c), для вычисления величины угла (?), образованного этими сторонами, воспользуйтесь функцией косинус и обратной ей – арккосинус. Косинус определяется отношением длины катета к гипотенузе, а формулу в окончательном виде дозволено записать так: ? = arccos(a/c). Для расчета по этим же начальным данным острого угла (?), лежащего наоборот вестимого катета, используйте то же соотношение, заменив арккосинус на арксинус: ? = arcsin(a/c).

Совет 2: Как обнаружить углы треугольника по длинам его сторон

Есть несколько вариантов нахождения величин всех углов в треугольнике, если знамениты длины 3 его сторон . Один из методов заключается в применении 2-х различных формул вычисления площади треугольника . Для облегчения расчетов дозволено также применить теорему синусов и теорему о сумме углов треугольника .

Инструкция

1. Воспользуйтесь, скажем, двумя формулами вычисления площади треугольника , в одной из которых задействованы только три его знаменитых сторон ы (формула Герона), а в иной – две сторон ы и синус угла между ними. Применяя во 2-й формуле различные пары сторон , вы сумеете определить величины всякого из углов треугольника .

2. Решите задачу в всеобщем виде. Формула Герона определяет площадь треугольника , как квадратный корень из произведения полупериметра (половины от суммы всех сторон ) на разницы между полупериметром и всякой из сторон . Если заменить периметр суммой сторон , то формулу дозволено записать в таком виде: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C иной сторон ы площадь треугольника дозволено выразить как половину произведения 2-х его сторон на синус угла между ними. Скажем, для сторон a и b с углом γ между ними эту формулу дозволено записать так: S=a∗b∗sin(γ). Замените левую часть равенства формулой Герона: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Выведите из этого равенства формулу для синуса угла γ: sin(γ)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗b∗)

3. Схожие формулы для 2-х других углов:sin(α)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (b∗c∗)sin(β)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗c∗)Взамен этих формул дозволено воспользоваться теоремой синусов, из которой вытекает, что соотношения сторон и синусов противолежащих им углов в треугольнике равны. То есть, вычислив в предыдущем шаге синус одного из углов, дозволено обнаружить синус иного угла по больше легкой формуле: sin(α)=sin(γ)∗a/c. А исходя из того, что сумма углов в треугольнике равна 180°, 3-й угол дозволено рассчитать еще проще: β=180°-α-γ.

4. Используйте, скажем, типовой калькулятор Windows для нахождения величин углов в градусах позже того, как по формулам рассчитаете значения синусов этих углов. Дабы это сделать, применяйте тригонометрическую функцию, обратную синусу – арксинус.