Совет 1: Как определить расстояние от точки до прямой

Для определения расстояния от точки до прямой нужно знать уравнения прямой и координаты точки в декартовой системе координат. Расстоянием от точки до прямой будет являться перпендикуляр, проведенный из этой точки к прямой .



Вам понадобится

• координаты точки и уравнение прямой

Инструкция

1. Всеобщее уравнение прямой в декартовых координатах имеет вид Ax+By+C=0, где A, B и C – знаменитые числа. Пускай точка O имеет координаты (x1, y1) в декартовой системе координат.В этом случае отклонение этой точки от прямой равно ?=(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2)), если C<0, и ?=(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2))), если C>0.Расстояние от точки до прямой – это модуль отклонения точки от прямой , то есть r=|(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2))|, если C<0, и ?=|(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2)))|, если C>0.

2. Пускай сейчас точка с координатами (x1, y1, z1) задана в трехмерном пространстве. Прямая может быть задана параметрически, системой из 3 уравнений: x = x0+ta, y = y0+tb, z = z0+tc, где t – действительное число. Расстояние от точки до прямой дозволено обнаружить как минимальное от этой точки до произвольной точки прямой . Показатель t этой точки равен tmin=(a(x1-x0)+b(y1-y0)+c(z1-z0))/((a^2)+(b^2)+(c^2))

3. Расстояние от точки (x1, y1) до прямой дозволено посчитать и в случае, если прямая задана уравнением с угловым показателем: y = kx+b. Тогда уравнение перпендикулярной ей прямой будет иметь вид: y = (-1/k)x+a. Дальше надобно учесть, что эта прямая должна проходить через точку (x1, y1). Отсель находится число a. Позже реформирований находится и расстояние между точкой и прямой .

Совет 2: Как определить расстояние от точки до плоскости

Определение расстояния от точки до плоскости – одна из распространенных задач школьной планиметрии. Как знаменито, наименьшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости . Следственно длина этого перпендикуляра и принимается за расстояние от точки до плоскости .



Вам понадобится

• уравнение плоскости

Инструкция

1. В трехмерном пространстве дозволено определить декартову систему координат с осями X,Y и Z. Тогда у всякий точки в этом пространстве неизменно будут определены координаты x, y и z. Пускай задана точка с координатами x0, y0, z0.Уравнение плоскости выглядит так: ax+by+cz+d = 0.

2. Расстояние от заданной точки до заданной точки , то есть длина перпендикуляра, находится по формуле: r = |ax0+by0+cz0+d|/sqrt((a^2)+(b^2)+(c^2)). Честность этой формулы дозволено подтвердить с поддержкой параметрических уравнений прямой, либо с подмогой скалярного произведения векторов.

3. Существует также представление отклонения точки от плоскости . Плоскость дозволено задать нормированным уравнением: x*cos?+y*cos?+z*cos?-p = 0, где p – расстояние от плоскости до начала координат. В нормированном уравнении заданы направляющие косинусы вектора N = (a, b, c), перпендикулярному плоскости , где a, b, c – константы, определяющие уравнение плоскости .Отклонение точки M с координататами x0, y0 и z0 от плоскости , заданной нормированным уравнением, записывается в виде: ? = x0*cos?+y0*cos?+z0*cos?-p. ?>0, если точка M и предисловие координат лежат по различные стороны плоскости , напротив ?<0.Расстояние от точки до плоскости равно r = |?|.

Видео по теме

Совет 3: Как определить расстояние от точки до плоскости, заданной следами

Одна из довольно распространенных задач, встречающихся в исходных курсах высшей математики ВУЗ-ов, состоит в определении расстояния от произвольной точки до некоторой плоскости. Как водится, плоскость задается уравнением в том либо другом виде. Но существуют и другие способы определения плоскостей. Скажем, следами.



Вам понадобится

• – данные следов плоскости;
• – координаты точки.

Инструкция

1. Если в исходные данные не содержат координаты точек, являющихся местами пересечения плоскости с осями системы координат (следы могут задаваться сходственным образом), определите их. Если следы определены парами произвольных точек, принадлежащих плоскостям ХY, ХZ, YZ, составьте уравнения прямых (в данных плоскостях), содержащих соответствующие отрезки. Решив уравнения, обнаружьте координаты пересечений следов с осями. Пускай это будут точки А(Х1, Y1, Z1), В(Х2, Y2, Z2), С(Х3, Y3, Z3).

2. Приступите к нахождению уравнения плоскости, заданной начальными следами. Составьте определитель вида:(Х-Х1) (Y-Y1) (Z-Z1)(Х2-Х1) (Y2-Y1) (Z2 – Z1)(Х3-Х1) (Y3-Y1) (Z3 – Z1)Тут Х1, Х2, Х3, Y1, Y2, Y3, Z1, Z2, Z3 – значения координат точек А, В, С, обнаруженные на предыдущем шаге, Х, Y и Z – переменные, фигурирующие в результирующем уравнении. Обратите внимание на то, что элементы 2-х нижних строк матрицы в результате будут содержать константные значения.

3. Вычислите определитель. Приравняйте к нулю полученное выражение. Это и будет уравнение плоскости. Обратите внимание на то, что определитель вида(n11) (n12) (n13)(n21) (n22) (n23)(n31) (n32) (n33)дозволено вычислить как: n11*(n22*n33 – n23*n32) + n12*(n21*n33 – n23*n31) + n13*(n21*n32 – n22*n31). От того что величины n21, n22, n23, n31, n32, n33 – константы, а в первой строке содержатся переменные Х, Y, Z, результирующее уравнение будет иметь вид: АХ + ВY + СZ + D = 0.

4. Определите расстояние от точки до плоскости, заданной начальными следами. Пускай координатами этой точки будут значения Хm, Ym, Zm. Имея данные величины, а также показатели А, В, С и вольный член уравнения D, полученного на предыдущем шаге, используйте формулу вида: P = |АХm + ВYm + СZm + D| / ?(А?+В?+С?) для вычисления результирующего расстояния.

Видео по теме


Полезный совет
Вы можете взять всякие три вестимых точки, не лежащих на одной прямой и принадлежащих плоскости, для нахождения ее уравнения. Так, дозволено предпочесть две всякие точки на одном и одну точку на ином следе (каждого довольно 2-х следов).

Совет 4: Как определить высоту малодоступной точки

При производстве геодезических и изыскательских работ, а также при ориентировании на местности изредка доводится определять высоту точек, недостижимых для прямого измерения. Этими точками могут быть верхушки деревьев, высокая скала либо опора линии электропередач. Для решения такой задачи используются как особые приборы (скажем, нивелиры), так и примитивные подручные средства.



Вам понадобится

• – нивелир;
• – палка либо шест;
• – равнобедренный треугольник;
• – карманное зеркальце.

Инструкция

1. Используйте для определения высоты малодоступной точки нивелир. Он представляет собой геодезический инструмент для измерения превышения точек на поверхности. Существует несколько видов нивелиров, но наибольшее распространение получили оптико-механические устройства. Для начала ознакомьтесь с инструкцией по использованию прибора.

2. Установите прибор на штативе. Визирную линию зрительной трубы нивелира выставьте горизонтально при помощи встроенного яруса. Расположите нивелирную рейку вертикально. Наведите трубу на рейку посредством визира и отфокусируйте изображение рейки соответствующим регулировочным винтом. Произведите отсчет высоты объекта по рейке, применяя в качестве отсчетного индекса горизонтальную нить сетки.

3. При отсутствии нужного оборудования используйте для определения высоты подручные средства – удочку, палку либо шест вестимой длины. В ясный день определите высоту объекта (скажем, высокого дерева), руководствуясь таким правилом: высота предмета во столько же раз огромнее размеров предмета с вестимой высотой, во сколько раз тень измеряемого объекта огромнее тени от палки.

4. Поставьте палку сурово вертикально. Измерьте длину ее тени. Измерьте длину тени предмета, высоту которого хотите узнать. Составьте и решите пропорцию, взяв в качестве желанного неведомого элемента высоту измеряемого предмета.

5. Для использования дальнейшего метода вам потребуется ученический равнобедренный треугольник. Приближаясь к объекту измерения, установите треугольник у глаза, дабы один его катет был направлен отвесно, а гипотенуза совпала с линией визирования на точку, высоту которой вы хотите узнать. Сложите расстояние до объекта и высоту от поверхности земли до ваших глаз; вы получите высоту, на которой расположена желанная точка.

6. Измерить высоту дерева дозволено другим методом. Если неподалеку от измеряемого объекта находится обыкновенная лужа, встаньте так, дабы она располагалась между вами и предметом. Сейчас при помощи карманного зеркальца разыщите в воде отражение вершины дерева. Высота верхней точки будет во столько же раз огромнее вашего роста, во сколько раз расстояние от вас до лужи огромнее, чем расстояние от лужи до наблюдателя. Для измерений используйте знаменитую длину своего шага (у человека среднего роста она равна 0,7-0,8 метра).

Видео по теме