Как определить, лежат ли точки на одной прямой

Совет 1: Как определить, лежат ли точки на одной прямой

Если вам даны две точки , то вы можете отважно заявить, что они лежат на одной прямой , потому что через всякие две точки дозволено провести прямую. Но как же узнать, лежат ли все точки на прямой , если точек три, четыре либо огромнее? Подтвердить принадлежность точек одной прямой дозволено несколькими методами.



Вам понадобится

  • Точки, заданные координатами.

Инструкция

1. Если вам даны точки с координатами (х1, у1, z1), (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), обнаружьте уравнение прямой , применяя координаты всяких 2-х точек, скажем, первой и 2-й. Для этого подставьте соответствующие значения в уравнение прямой : (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Если один из знаменателей равен нулю, примитивно приравняйте к нулю числитель.

2. Обнаружить уравнение прямой , зная две точки с координатами (х1, у1), (х2, у2), еще проще. Для этого подставьте значения в формулу (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1).

3. Получив уравнение прямой , проходящей через две точки , подставьте значения координат третьей точки в него взамен переменных х и у. Если равенство получилось правильное, значит все три точки лежат на одной прямой . Верно так же можете проверять принадлежность этой прямой других точек.

4. Проверьте принадлежность всех точек прямой , проверив равенство тангенсов углов наклона соединяющих их отрезков. Для этого проверьте, будет ли правильным равенство (х2-х1)/(х3-х1)=(у2-у1)/(у3-у1)=(z2-z1)/(z3-z1). Если один из знаменателей равен нулю, то для принадлежности всех точек одной прямой должно выполняться условие х2-х1=х3-х1, у2-у1=у3-у1, z2-z1=z3-z1.

5. Еще один метод проверить принадлежность 3 точек прямой – посчитайте площадь треугольника, тот, что они образуют. Если все точки лежат на прямой , то его площадь будет равна нулю. Подставьте значения координат в формулу: S=1/2((х1-х3)(у2-у3)-(х2-х3)(у1-у3)). Если позже всех вычислений вы получили нуль – значит, три точки лежат на одной прямой .

6. Дабы обнаружить решение задачи графическим методом, постройте координатные плоскости и обнаружьте точки по указанным координатам. После этого проведите прямую через две из них и продолжите до третьей точки , посмотрите, пройдет ли она через нее. Учтите, данный метод подходит только для точек, заданных на плоскости с координатами (х, у), если же точка задана в пространстве и имеет координаты (х, у, z), то такой метод неприменим.

Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой

На основании аксиомы, описывающей свойства прямой : какова бы ни была прямая, есть точки , принадлежащие и не принадлежащие ей. Следственно абсолютно разумно, что не все точки будут лежать на одной прямой линии.



Вам понадобится

  • – карандаш;
  • – линейка;
  • – ручка;
  • – тетрадь;
  • – калькулятор.

Инструкция

1. Проверить принадлежность точки той либо другой прямой достаточно легко. Используйте для этого уравнение прямой . Выходит, представим, что прямая проходит через точки А(x1,y1) и В(x2,y2). Дана точка К(x,y): необходимо проверить ее принадлежность прямой . Уравнение линии по двум точкам имеет дальнейший вид: (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) = 0.

2. Подставьте значение координат точки К в уравнение. Если (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) окажется огромнее нуля, то точка К расположена правее либо ниже прямой , проведенной по точкам А и В.

3. В том случае, если (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) будет поменьше нуля, точка К располагается выше либо левее линии. Другими словами, только в том случае, если уравнение вида (x – x1) * (y2 – y1) – (x2 – x1) * (y – y1) = 0 объективно, точки А, В и К будут расположены на одной прямой .

4. В остальных случаях лишь две точки (А и В), которые, по условию задания, лежат на прямой , будут ей принадлежать: через третью точку (точку К) прямая проходить не будет.

5. Разглядите 2-й вариант определения принадлежности точки примой: на данный раз надобно проверить принадлежит ли точка С(x,y) отрезку с концевыми точками В(x1,y1) и А(x2,y2), тот, что является частью прямой z.

6. Точки рассматриваемого отрезка опишите уравнением pOB+(1-p)OА=z, при условии, что 0?p?1. ОВ и ОА являются векторами. Если есть такое число p, которое огромнее либо равно 0, но поменьше либо равно 1, то pOB+(1-p)OА=С, а значит, точка С будет лежать на отрезке АВ. В отвратном случае, данная точка не будет принадлежать этому отрезку.

7. Распишите равенство pOB+(1-p)OА=С покоординатно: px1+(1-p)x2=x и py1+(1-p)y2=y.

8. Обнаружьте из первого уравнения число р и подставьте его значение во второе равенство. Если равенство будет соответствовать условиям 0?p?1, то точка С принадлежит отрезку АВ.

9. Постройте точки по заданным координатам и проведите через них прямую. Это дозволит увидеть точки , лежащие на одной прямой , и те точки , что не принадлежат ей.

Обратите внимание!
Удостоверитесь в правильности расчетов!

Полезный совет
Дабы обнаружить k – угловой показатель прямой, надобно (y2 – y1)/(x2 – x1).

Совет 3: Как провести прямую через две точки

Построение прямых — основа технического черчения. Теперь это все почаще делается с поддержкой графических редакторов, которые предоставляют проектировщику крупные вероятности. Впрочем некоторые тезисы построения остаются теми же, что и в классическом черчении – с подмогой карандаша и линейки.



Вам понадобится

  • – лист бумаги;
  • – карандаш;
  • – линейка;
  • – компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

1. Начните с классического построения. Определите плоскость, в которой вы будете строить прямую. Пускай это будет плоскость листа бумаги. В зависимости от условий задачи расположите точки. Они могут быть произвольными, но не исключено, что задана какая-то система координат. Произвольные точки поставьте там, где вам огромнее понравится. Обозначьте их как А и В. С поддержкой линейки объедините их. Согласно аксиоме, через две точки неизменно дозволено провести прямую, притом только одну.

2. Начертите систему координат. Пускай вам даны координаты точки А (х1; у1). Дабы их обнаружить, нужно отложить по оси х надобное число и провести через подмеченную точку прямую, параллельную оси у. После этого отложите величину, равную у1, по соответствующей оси. Из подмеченной точки проведите перпендикуляр до его пересечения с первым. Место их пересечения и будет точкой А. Таким же образом обнаружьте точку В, координаты которой дозволено обозначить как (х2; у2). Объедините обе точки прямой.

Определите расположение точек в заданной системе координат

3. В программе AutoCAD прямую дозволено возвести несколькими методами. Функция «по двум точкам» обыкновенно установлена по умолчании. Обнаружьте в верхнем меню вкладку «Основная». Вы увидите перед собой панель «Рисование». Обнаружьте кнопку с изображением прямой линии и нажмите на нее.

4. Прямую по двум точкам в этой программе дозволено возвести двумя методами. Поставьте курсор в надобную точку на экране и щелкните левой кнопкой мыши. После этого определите вторую точку, протяните туда линию и тоже щелкните мышкой.

5. AutoCAD разрешает также задать координаты обеих точек. Наберите в находящейся внизу командной строке (_xline). Нажмите Enter. Введите координаты первой точки и тоже нажмите на ввод. Верно также определите и вторую точку. Ее дозволено указать и щелчком мыши, поставив курсор в необходимую точку экрана.

6. В AutoCAD дозволено возвести прямую не только по двум точкам, но и по углу наклона. В контекстном меню «Рисование» выберите прямую, а после этого опцию «Угол». Начальную точку дозволено поставить щелчком мыши либо по координатам, как и в предыдущем методе. После этого задайте размер угла и нажмите на ввод. По умолчании прямая расположится под необходимым углом к горизонтали.

Видео по теме

Совет 4: Как подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника

Подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника, дозволено легкой проверкой всех допустимых обстановок, тем больше что их не много. Не следует только забывать, что дозволено придти и к событию противоположному, то есть случаю, когда точка является внутренней для заданного треугольника.

Инструкция

1. Раньше чем искать решение поставленной задачи, читателю следует самому принять решение о принадлежности сторон треугольника. Считать их точки внешними для треугольника либо нет. На данной стадии считаем, что это область замкнутая, а следственно она включает свои границы. Для простоты разглядите «плоский случай», но не забывайте и о пространственном обобщении. Следственно типовые уравнения для прямых плоскости вида y=kx+b, применять не следует, по весьма мере в начале решения.

2. Выберите метод задания для сторон треугольника. Судя по постановке задачи, это не имеет твердого значения. Следственно считайте, что даны координаты его вершин A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) (см. рис. 1.). Обнаружьте направляющие векторы сторон треугольника AB={xb-xa, yb-ya}, BC={xc-xb, yc-yb}, AC={xc-xa, yc-ya} и запишите канонические уравнения прямых, содержащих эти стороны. Для AB – (x-xa)/(xb-xa)=(y-ya)/(yb-ya). Для BС – (x-xb)/(xc-xb)=(y-yb)/(yc-ya). Для AС – (x-xa)/(xc-xa)=(y-ya)/(yc-ya). В соответствии с рисунком проведите горизонтальные и вертикальные линии, которые дозволено записать как x=xc, x= xa, x=xb, y=yc, y=ya, y=yb. Это дозволит до минимума сократить число вычислений. Дальше следуйте предложенному алгорифму. На рисунке заданная точка М(xo,yo) помещена в самом «неблагополучном» месте.

Как подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника

3. Следуя по оси 0х, проверьте выполнение неравенства xc?xo?хb. Если оно не исполнено, то точка теснее лежит вне пределов треугольника, потому что «не внутри» – это и есть «снаружи». Если же неравенство исполнено, то дальше проверьте честность xc

4. Проверьте выполнение неравенства уc?уo?уа. Если оно не объективно, то точка не лежит внутри треугольника. В отвратном случае обнаружьте ординату прямой, содержащей АB. у1=y(xo)=[(yb-ya)(xo-xa)]/(xb-xa)+ya. Также поступите с ординатой прямой для BC. у2=у(хо)=[(yс-yb)(xo-xb)]/(xc-xb)+yc. Составьте неравенство y2?yo?y1. Его выполнение разрешает сделать завершение о том, что заданная точка находится внутри треугольника. Если же это неравенство ложно, то она лежит вне его пределов, в частности в соответствии с рисунком.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий