Совет 1: Как описать окружность около прямоугольного треугольника

Треугольник – простейшая из плоских многоугольных фигур. Если величина какого-нибудь угла в его вершинах равна 90°, то треугольник именуется прямоугольным. Около такого многоугольника дозволено начертить круг таким методом, дабы всякая из 3 вершин имела одну всеобщую точку с его рубежом (окружностью). Эта окружность будет именоваться описанной, а присутствие прямого угла гораздо упрощает задачу ее построения.



Вам понадобится

• Линейка, циркуль, калькулятор.

Инструкция

1. Начните с определения радиуса окружности, которую нужно будет возвести. Если есть вероятность измерить длины сторон треугольника, то обратите внимание на его гипотенузу – сторону, лежащую наоборот прямого угла. Измерьте ее и поделите полученное значение напополам – это и будет радиус описываемой около прямоугольного треугольника окружности.

2. Если длина гипотенузы неведома, но есть длины (a и b) катетов (2-х сторон, прилегающих к прямому углу), то радиус (R) обнаружьте с применением теоремы Пифагора. Из нее вытекает, что данный параметр будет равен половине квадратного корня, извлеченного из суммы возведенных в квадрат длин катетов: R=?*?(a?+b?).

3. Если вестима длина лишь одного из катетов (a) и величина прилегающего к нему острого угла (?), то для определения радиуса описанной окружности (R) используйте тригонометрическую функцию – косинус. В прямоугольном треугольнике она определяет соотношение длин гипотенузы и этого катета. Рассчитайте половину частного от деления длины катета на косинус знаменитого угла: R=?*a/cos(?).

4. Если помимо длины одного из катетов (a) вестима величина острого угла (?), лежащего наоборот него, то для вычисления радиуса (R) воспользуйтесь иной тригонометрической функцией – синусом. Помимо замены функции и стороны в формуле ничего не изменится – поделите длину катета на синус вестимого острого угла, а итог поделите напополам: R=?*b/sin(?).

5. Позже нахождения радиуса любым из перечисленных методов определите центр описываемой окружности. Для этого отложите на циркуле полученное значение и установите его в всякую вершину треугольника. Описывать полный круг нет необходимости, легко подметьте место его пресечения с гипотенузой – эта точка и будет центром окружности. Таково качество прямоугольного треугольника – центр описанной около него окружности неизменно находится в середине его самой длинной стороны. Начертите круг отложенного на циркуле радиуса с центром в обнаруженной точке. На этом построение будет закончено.

Совет 2: Как обнаружить центр описанной окружности

Изредка около выпуклого многоугольника дозволено начертить окружность таким образом, дабы вершины всех углов лежали на ней. Такую окружность по отношению к многоугольнику нужно называть описанной. Ее центр не непременно должен находиться внутри периметра вписанной фигуры, но пользуясь свойствами описанной окружности , обнаружить эту точку, как водится, не дюже сложно.



Вам понадобится

• Линейка, карандаш, транспортир либо угольник, циркуль.

Инструкция

1. Если многоугольник, около которого необходимо описать окружность, начерчен на бумаге, для нахождения центр а круга довольно линейки, карандаша и транспортира либо угольника. Измерьте длину всякий из сторон фигуры, определите ее середину и поставьте в этом месте чертежа вспомогательную точку. С поддержкой угольника либо транспортира проведите внутри многоугольника перпендикулярный этой стороне отрезок до пересечения с противоположной стороной.

2. Проделайте эту же операцию с всякий иной стороной многоугольника. Пересечение 2-х построенных отрезков и будет желанной точкой. Это вытекает из основного свойства описанной окружности – ее центр в выпуклом многоугольнике с любым числом сторон неизменно лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к этим сторонам.

3. Для верных многоугольников определение центр а вписанной окружности может быть гораздо проще. Скажем, если это квадрат, то начертите две диагонали – их пересечение и будет центр ом вписанной окружности . В положительном многоугольнике с любым четным числом сторон довольно объединить вспомогательными отрезками две пары лежащих друг наоборот друга углов – центр описанной окружности должен совпадать с точкой их пересечения. В прямоугольном треугольнике для решения задачи легко определите середину самой длинной стороны фигуры – гипотенузы.

4. Если из условий незнакомо, дозволено ли в тезисе начертить описанную окружность для данного многоугольника, позже определения полагаемой точки центр а любым из описанных методов вы можете это узнать. Отложите на циркуле расстояние между обнаруженной точкой и всякий из вершин, установите циркуль в полагаемый центр окружности и начертите круг – вся вершина должна лежать на этой окружности . Если это не так, значит, не выполняется одно из основных свойств и описать окружность около данного многоугольника невозможно.

Совет 3: Как возвести описанную окружность?

Согласно определению, описанная окружность должна проходить через все вершины углов заданного многоугольника. При этом идеально неважно, что это за многоугольник — треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция либо что-то иное. Также не играет роли, верный либо неверный это многоугольник. Нужно лишь рассматривать, что существуют многоугольники, вокруг которых окружность описать невозможно. Неизменно дозволено описать окружность вокруг треугольника. Что касается четырехугольников, то окружность дозволено описать около квадрата либо прямоугольника либо равнобедренной трапеции.



Вам понадобится

• Заданный многоугольника
• Линейка
• Угольник
• Карандаш
• Циркуль
• Транспортир
• Таблицы синусов и косинусов
• Математические представления и формулы
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов
• Теорема косинусов
• Признаки подобия треугольников

Инструкция

1. Постройте многоугольник с заданными параметрами и определите, дозволено ли описать вокруг него окружность . Если вам дан четырехугольник, посчитайте суммы его противоположных углов. Всякая из них должна равняться 180°.

2. Для того, дабы описать окружность , необходимо вычислить ее радиус. Припомните, где лежит центр описанной окружности в различных многоугольниках. В треугольнике он находится в точке пересечения всех высот данного треугольника. В квадрате и прямоугольники — в точке пересечения диагоналей, для трапеции- в точке пересечения оси симметрии к линии, соединяющей середины боковых сторон, а для всякого иного выпуклого многоугольника — в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.



3. Диаметр окружности, описанной вокруг квадрата и прямоугольника, вычислите по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из суммы квадратов сторон прямоугольника. Для квадрата, у которого все стороны равны, диагональ равна квадратному корню из удвоенного квадрата стороны. Поделив диаметр на 2, получаете радиус.



4. Вычислите радиус описанной окружности для треугольника. От того что параметры треугольника заданы в условиях, вычислите радиус по формуле R = a/(2·sinA), где а — одна из сторон треугольника, ? — противолежащий ей угол. Взамен этой стороны дозволено взять всякую иную сторону и противолежащий ей угол.



5. Вычислите радиус окружности, описанной вокруг трапеции.  R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c))   В этой формуле a и b — вестимые по условиям задания основания трапеции, h – высота, d – диагональ,  p = 1/2*(a+d+c) . Вычислите недостающие значения. Высоту дозволено вычислить по теореме синусов либо косинусов, от того что длины сторон трапеции и углы заданы в условиях задачи. Зная высоту и рассматривая знаки подобия треугольников, вычислите диагональ. Позже этого останется только вычислить радиус по указанной выше формуле.



Видео по теме


Полезный совет
Дабы вычислить радиус окружности, описанной вокруг иного многоугольника, исполните ряд дополнительных построений. Получите больше примитивные фигуры, параметры которых вам знамениты.

Совет 4: Как начертить прямоугольный треугольник по острому углу и гипотенузе

Прямоугольным называют треугольник, угол в одной из вершин которого равен 90°. Сторону, лежащую наоборот этого угла, называют гипотенузой, а стороны, противолежащие двум острым углам треугольника, именуются катетами. Если знаменита длина гипотенузы и величина одного из острых углов, то этих данных довольно, чтоб возвести треугольник, как минимум, двумя методами.



Вам понадобится

• Лист бумаги, карандаш, линейка, циркуль, калькулятор.

Инструкция

1. 1-й метод требует наличия помимо карандаша и бумаги еще и линейки, транспортира и угольника. Вначале начертите ту сторону, которая является гипотенузой – поставьте точку A, отложите от нее вестимую длину гипотенузы, поставьте точку С и объедините точки.

2. Приложите транспортир к проведенному отрезку таким образом, дабы нулевая отметка совпала с точкой A, отмерьте величину вестимого острого угла и поставьте вспомогательную точку. Проведите линию, которая будет начинаться в точке A и проходить через вспомогательную точку.

3. Приложите угольник к отрезку AC таким образом, дабы прямой угол начинался от точки C. Точку пересечения угольником линии, проведенной на предыдущем шаге, обозначьте буквой B и объедините ее с точкой C. На этом построение прямоугольного треугольника с знаменитой длиной стороны AC (гипотенузы) и острым углом в вершине A будет завершено.

4. Иной метод помимо карандаша и бумаги затребует наличия линейки, циркуля и калькулятора. Начните с вычисления длин катетов – умения величины одного острого угла и длины гипотенузы для этого абсолютно довольно.

5. Рассчитайте длину того катета (AB), тот, что лежит наоборот угла вестимой величины (β) – он будет равен произведению длины гипотенузы (AC) на синус знаменитого угла AB=AC*sin(β).

6. Определите длину иного катета (BC) – она будет равна произведению длины гипотенузы на косинус вестимого угла BC=AC*cos(β).

7. Поставьте точку A, отмерьте от нее длину гипотенузы, поставьте точку C и проведите между ними линию.

8. Отложите на циркуле длину катета AB, рассчитанную в пятом шаге и начертите вспомогательный полукруг с центром в точке A.

9. Отложите на циркуле длину катета BC, рассчитанную в шестом шаге и начертите вспомогательный полукруг с центром в точке С.

10. Подметьте точку пересечения 2-х полукругов буквой B и проведите отрезки между точками A и B, C и B. На этом построение прямоугольного треугольника будет закончено.

Совет 5: Как именуются стороны прямоугольного треугольника

Ошеломительными свойствами прямоугольных треугольников люди заинтересовались еще во времена древности. Многие из этих свойств были описаны древнегреческим ученым Пифагором. В Старинной Греции возникли и наименования сторон прямоугольного треугольника.

Какой треугольник называют прямоугольным?

Есть несколько типов треугольников. У одних все углы острые, у других – один тупой и два острых, у третьих – два острых и прямой. По этому знаку всякий тип этих геометрических фигур и получил наименование: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. То есть, прямоугольным именуется такой треугольник, у которого один из углов составляет 90°. Есть и другое определение, аналогичное с первым. Прямоугольным именуется треугольник, у которого две стороны перпендикулярны.

Гипотенуза и катеты

У остроугольного и тупоугольного треугольников отрезки, соединяющие вершины углов, именуются примитивно сторонами. У треугольника прямоугольного стороны имеют и другие наименования. Те, которые прилегают к прямому углу, именуются катетами. Сторона, противолежащая прямому углу, именуется гипотенузой. В переводе с греческого слово «гипотенуза» обозначает «натянутая», а «катет» – «перпендикуляр».

Соотношения между гипотенузой и катетами

Стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые гораздо облегчают вычисления. Скажем, зная размеры катетов, дозволено вычислить длину гипотенузы. Это соотношение по имени открывшего его математика получило наименование теоремы Пифагора и выглядит оно так:c2=a2+b2, где с – гипотенуза, a и b – катеты. То есть, гипотенуза будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Дабы обнаружить всякий из катетов, довольно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат иного катета и извлечь из полученной разности квадратный корень.

Прилежащий и противолежащий катет

Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Буквой С принято обозначать вершину прямого угла, А и В – вершины острых углов. Стороны, противолежащие всему углу, комфортно назвать а, b и с, по наименованиям лежащих наоборот них углов. Разглядите угол А. Катет а для него будет противолежащим, катет b – прилежащим. Отношение противолежащего катета к гипотенузе именуется синусом. Вычислить эту тригонометрическую функцию дозволено по формуле: sinA=a/c. Отношение прилежащего катета к гипотенузе именуется косинусом. Вычисляется он по формуле: cosA=b/c. Таким образом, зная угол и одну из сторон, дозволено по этим формулам вычислить иную сторону. Тригонометрическими соотношениями связаны и оба катета. Отношение противолежащего к прилежащему именуется тангенсом, а прилежащего к противолежащему – котангенсом. Выразить эти соотношения дозволено формулами tgA=a/b либо ctgA=b/a.