Совет 1: Как обнаружить знаменатель геометрической прогрессии
Согласно определению, геометрическая прогрессия – это последовательность неравных нулю чисел, всякое дальнейшее из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое непрерывное число (знаменатель прогрессии). При этом в геометрической прогрессии не должно быть ни одного нуля, напротив каждая последовательность «обнулятся», что противоречит определению. Дабы обнаружить знаменатель довольно знать значения 2-х ее соседних членов. Впрочем, не неизменно данные задачи бывают настоль примитивными.
Вам понадобится
- калькулятор
Инструкция
1. Поделите всякий член прогрессии на предшествующий. Если значение предыдущего члена прогрессии незнакомо либо неопределено (скажем, для первого члена прогрессии), то поделите на всякий член последовательности значение дальнейшего члена прогрессии.Потому что ни один член геометрической прогрессии не равен нулю, то при выполнении этой операции не должно появиться загвоздок.
2. Пример.Пускай имеется последовательность чисел:10, 30, 90, 270…Требуется обнаружить знаменатель геометрической прогрессии.Решение:1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (скажем, 90) и поделим его на предшествующий (30): 90/30=3.2 вариант. Возьмем всякий член геометрической прогрессии (скажем, 10) и поделим на него дальнейший (30): 30/10=3.Результат: знаменатель геометрической прогрессии 10, 30, 90, 270… равен 3.
3. Если значения членов геометрической прогрессии заданы не очевидно, а в форме соотношений, то составьте и решите систему уравнений.Пример.Сумма первого и четвертого члена геометрической прогрессии равняется 400 (b1+b4=400), а сумма второго и пятого члена равняется 100 (b2+b5=100).Требуется обнаружить знаменатель прогрессии.Решение:Запишите условие задачи в виде системы уравнений:b1+b4=400b2+b5=100Из определения геометрической прогрессии вытекает, что:b2=b1*qb4=b1*q^3b5=b1*q^4, где q – общепризнанное обозначение знаменателя геометрической прогрессии.Подставив в систему уравнений значения членов прогрессии, получите:b1+ b1*q^3=400b1*q+ b1*q^4=100После разложения на множители получается:b1*(1+q^3)=400b1*q(1+q^3)=100Теперь поделите соответствующие части второго уравнения на первое:[b1*q(1+q^3)] / [b1*(1+q^3)] = 100/400, откуда: q=1/4.
4. Если знаменита сумма нескольких членов геометрической прогрессии либо сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и S = b1/(1-q), где S – сумма безгранично убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).Пример.1-й член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.Требуется определить знаменатель этой прогрессии.Решение:Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:2=1/(1-q), откуда – q=1/2.
Совет 2: Как обнаружить знаменатель прогрессии
Прогрессия представляет собой последовательность чисел. В геометрической прогрессии весь дальнейший член получается умножением предыдущего на некоторое число q, называемое знаменателем прогрессии.
Инструкция
1. Если знаменито два соседних члена геометрической прогрессии b(n+1) и b(n), дабы получить знаменатель, нужно число с огромным индексом поделить на предшествующее ему: q=b(n+1)/b(n). Это следует из определения прогрессии и ее знаменателя. Значимым условием является неравенство нулю первого члена и знаменателя прогрессии, напротив прогрессия считается неопределенной.
2. Так, между членами прогрессии устанавливаются следующие соотношения: b2=b1•q, b3=b2•q, … , b(n)=b(n-1) •q. По формуле b(n)=b1•q^(n-1) может быть вычислен всякий член геометрической прогрессии, в которой знаменит знаменатель q и 1-й член b1. Также всякий из членов геометрической прогрессии по модулю равен среднему геометрическому своих соседних членов: |b(n)|=?[b(n-1)•b(n+1)], отсель прогрессия и получила свое наименование.
3. Аналогом геометрической прогрессии является простейшая показательная функция y=a^x, где довод x стоит в показателе степени, a – некоторое число. В этом случае знаменатель прогрессии совпадает с первым членом и равен числу a. Под значением функции y дозволено понимать n-й член прогрессии, если довод x принять за естественное число n (счетчик).
4. Существует формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: S(n)=b1•(1-q^n)/(1-q). Данная формула объективна при q?1. Если q=1, то сумма первых n членов вычисляется формулой S(n)=n•b1. Кстати, прогрессия будет именоваться нарастающей при q большем единицы и правильном b1. При знаменателе прогрессии, по модулю не превышающем единицы, прогрессия будет именоваться убывающей.
5. Частный случай геометрической прогрессии – безмерно убывающая геометрическая прогрессия (б.у.г.п.). Дело в том, что члены убывающей геометрической прогрессии будут раз за разом уменьшаться, но никогда не достигнут нуля. Невзирая на это, дозволено обнаружить сумму всех членов такой прогрессии. Она определяется формулой S=b1/(1-q). Всеобщее число членов n беспредельно.
6. Дабы наглядно представить, как дозволено сложить безграничное число чисел и не получить при этом бесконечность, испеките торт. Отрежьте половину этого торта. После этого отрежьте 1/2 от половины, и так дальше. Ломтики, которые у вас будут получаться, являют собой не что иное, как члены безмерно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/2. Если сложить все эти ломтики, вы получите начальный торт.
Совет 3: Как решить геометрическую задачу
Задачи по геометрии – это специальная разновидность упражнений, требующая пространственного мышления. Если у вас не получается решить геометрическую задачу , испробуйте следовать нижеприведенным правилам.
Инструкция
1. Прочитайте дюже наблюдательно условие задачи, если что-то не запомнили либо не осознали, перечитайте еще раз.
2. Начертите чертеж к задаче на черновике. Проставьте на него все вестимые размеры, это нужно сделать старательно, дабы вы сами не запутались в этих данных.
3. Постарайтесь определить, к какому виду геометрических задач она относится, так, скажем: вычислительные, когда надобно узнать какую-либо величину, задачи на подтверждение, требующие логической цепочки рассуждений, задачи на построение при помощи циркуля и линейки. Еще бывают задачи смешанного типа. Когда вы узнали тип задачи, постарайтесь рассуждать логически.
4. Примените нужную теорему для решения данной задачи, если же есть сомнения либо вообще отсутствуют варианты, то постарайтесь припомнить теорию, которую вы проходили по соответствующей теме.
5. Оформите решение задачи также на черновике. Попытайтесь применить вестимые методы проверки верности вашего решения.
6. Оформите решение задачи старательно в тетради, без помарок и зачеркиваний, а основное – напишите результат.Допустимо, на решение первых геометрических задач уйдет много сил и времени. Впрочем, как только вы освоите данный процесс – начнете щелкать задачи по геометрии, как орешки, получая от этого наслаждение!
Совет 4: Как решать геометрическую прогрессию
Геометрическая прогрессия – это такая последовательность чисел b1, b2, b3, … , b(n-1), b(n), что b2=b1*q, b3=b2*q, … , b(n)=b(n-1)*q, b1?0, q?0. Иными словами, весь член прогрессии получается из предыдущего умножением его на определенный ненулевой знаменатель прогрессии q.
Инструкция
1. Задачи на прогрессии почаще каждого решаются составлением и дальнейшим решением системы уравнений касательно первого члена прогрессии b1 и знаменателя прогрессии q. Для составления уравнений пригодно помнить некоторые формулы.
2. Как выразить n-й член прогрессии через 1-й член прогрессии и знаменатель прогрессии:b(n)=b1*q^(n-1).
3. Как обнаружить сумму первых n членов геометрической прогрессии, зная 1-й член b1 и знаменатель q:S(n)=b1+b2+…+b(n)=b1*(1-q^n)/(1-q).
4. Разглядим отдельно случай |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю поменьше единицы, имеем безмерно убывающую геометрическую прогрессию . Сумма первых n членов безгранично убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Впрочем в случае беспредельно убывающей геометрической прогрессии дозволено обнаружить также сумму всех членов этой прогрессии, от того что при безмерном увеличении n будет безмерно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет тяготиться к определенному пределу. Выходит, сумма всех членов безмерно убывающей геометрической прогрессии равна:S=b1/(1-q).
5. Еще одно главное качество геометрической прогрессии, которое и дало геометрической прогрессии такое наименование: весь член прогрессии является средним геометрическим соседних с ним членов (предыдущего и дальнейшего). Это значит, что b(k) есть корень квадратный из произведения:b(k-1)*b(k+1).
Совет 5: Как обнаружить разность прогрессии
Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный комплект чисел, всякий член которого, помимо первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта непрерывная величина именуется разностью прогрессии либо ее шагом и может быть рассчитана по знаменитым членам арифметической прогрессии.
Инструкция
1. Если из условий задачи знамениты значения первого и второго либо всякий иной пары соседних членов арифметической прогрессии, для вычисления разности (d) легко отнимите от дальнейшего члена предшествующий. Получившаяся величина может быть как позитивным, так и негативным числом – это зависит от того, является ли прогрессия нарастающей либо убывающей. В всеобщей форме решение для произвольно взятой пары (a? и a???) соседних членов прогрессии запишите так: d = a??? – a?.
2. Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a?), а иной – любым иным произвольно выбранным, тоже дозволено составить формулу нахождения разности (d). Впрочем в этом случае непременно должен быть знаменит порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный итог поделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В всеобщем виде эту формулу запишите так: d = (a?+ a?)/(i-1).
3. Если помимо произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i знаменит иной ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих 2-х членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (a?+a?)/(i-v).
4. Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a?) и сумма (S?) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для приобретения желанного значения поделите сумму на число составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а итог удвойте. Получившуюся величину поделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В всеобщем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(S?/i-a?)/(i-1).
