Совет 1: Как обнаружить угол между двумя векторами

Угол между двумя векторами , выходящими из одной точки, это кратчайший угол, на тот, что нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до расположения второго вектора. Определить градусную меру этого угла дозволено, если вестимы координаты векторов.

Инструкция

1. Пускай на плоскости заданы два ненулевых вектора, отложенные от одной точки: вектор A с координатами (x1, y1) и вектор B с координатами (x2, y2). Угол между ними обозначен как θ. Дабы обнаружить градусную меру угла θ нужно воспользоваться определением скалярного произведения.

2. Скалярным произведением 2-х ненулевых векторов именуется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть (A,B)=|A|*|B|*cos(θ). Сейчас необходимо выразить из данной записи косинус угла: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

3. Скалярное произведение дозволено обнаружить также по формуле (A,B)=x1*x2+y1*y2, потому что скалярное произведение 2-х ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы являются перпендикулярными (угол между ними равен 90 градусов) и последующие вычисления дозволено не изготавливать. Если скалярное произведение 2-х векторов одобрительно, то угол между этими векторами острый, а если негативно, то угол тупой.

4. Сейчас посчитайте длины векторов A и B по формулам: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

5. Обнаруженные значения скалярного произведения и длин векторов подставьте в полученную в шаге 2 формулу для нахождения косинуса угла, то есть cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+√(x2²+y2²)). Сейчас, зная значение косинуса, дабы обнаружить градусную меру угла между векторами надобно воспользоваться таблицей Брадиса либо взять из этого выражения арккосинус: θ=arccos(cos(θ)).

6. Если векторы A и B заданы в трехмерном пространстве и имеют координаты (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) соответственно, то при нахождении косинуса угла добавляется еще одна координата. В этом случае косинус угла равен: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Совет 2: Как вычислить угол между векторами

Для решения многих задач, как прикладных, так и теоретических, в физике и линейной алгебре нужно вычислять угол между векторами. Эта простая на 1-й взор задача способна доставить уйма сложностей, если вы отчетливо не усвоите сущность скалярного произведения и какая величина возникает в итоге этого произведения.

Инструкция

1. Угол между векторами в векторном линейном пространстве – наименьший угол при повороте, на тот, что достигается сонаправленность векторов. Осуществляется поворот одного из векторов вокруг его исходной точки. Из определения становится видимо, что значение угла не может превышать 180 градусов (cм. рисунок к шагу).

2. При этом идеально объективно предполагается, что в линейном пространстве при осуществлении параллельного переноса векторов угол между ними не меняется. Следственно для аналитического расчета угла пространственная ориентация векторов не имеет значения.

3. При нахождении угла используйте определение скалярного произведения для векторов. Данная операция обозначается дальнейшим образом (см. рисунок к шагу).

4. Итог скалярного произведения – число, напротив скаляр. Запомните (это главно знать), дабы не допустить в дальнейших расчетах ошибок. Формула скалярного произведения, расположенных на плоскости либо в пространстве векторов, имеет вид (см. рисунок к шагу).

5. Это выражение объективно только для ненулевых векторов. Отсель выразите угол между векторами (см. рисунок к шагу).

6. Если система координат, в которой располагаются векторы, является декартовой, то выражение для определения угла дозволено переписать в дальнейшем виде (см. рисунок к шагу).

7. Если вектора располагаются в пространстве, то расчет изготавливаете аналогичным методом. Исключительным различием будет происхождение третьего слагаемого в делимом – это слагаемое отвечает за аппликату, т.е. третью компоненту вектора. Соответственно, при вычислении модуля векторов компоненту z также нужно учесть, тогда для векторов, расположенных в пространстве, последнее выражение преобразуется дальнейшим образом (см. рисунок 6 к шагу).

Совет 3: Как обнаружить угол между векторами

Вектор – это отрезок с заданным направлением. Угол между векторами имеет физическое значение, скажем при нахождении длины проекции вектора на ось.

Инструкция

1. Угол между двумя ненулевыми векторами определяется с подмогой вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. С иной стороны, скалярное произведение для 2-х векторов a с координатами (x1; y1) и b с координатами (x2; y2) вычисляется по формуле: ab = x1x2 + y1y2. Из этих 2-х методов нахождения скалярного произведения легко обнаружить угол между векторами.

2. Обнаружьте длины либо модули векторов. Для наших векторов a и b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

3. Обнаружьте скалярное произведение векторов, перемножив их координаты попарно: ab = x1x2 + y1y2. Из определения скалярного произведения ab = |a|*|b|*cos α, где α – угол между векторами. Тогда получим, что x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Тогда cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

4. Обнаружьте угол α с поддержкой таблиц Брадиса.

5. В случае трехмерного пространства добавляется третья координата. Для векторов a (x1; y1; z1) и b (x2; y2; z2) формула для косинуса угла представлена на рисунке.



Видео по теме


Обратите внимание!
Скалярное произведение – это скалярная колляция длин векторов и угла между ними.

Совет 4: Как обнаружить угол между плоскостями

Плоскость – одно их начальных представлений в геометрии. Плоскостью именуется поверхность, для которой правильно заявление – любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит этой поверхности. Плоскости принято обозначать греческими буквами ?, ?, ? и т.д. Две плоскости неизменно пересекаются по прямой линии, которая принадлежит обеим плоскостям.

Инструкция

1. Разглядим полуплоскости ? и ? образованные при пересечении 2-х плоскостей. Угол, образованный прямой a и двумя полуплоскостями ? и ? именуется двугранным углом. При этом полуплоскости образующие двугранный угол именуются гранями, прямая a по которой пересекаются плоскости именуется ребром двугранного угла.



2. Двугранный угол, как и плоский угол, измеряется в градусах. Дабы измерить двугранный угол нужно на его грани предпочесть произвольную точку O. В обеих плоскостях через точку O проводятся два луча перпендикулярно ребру a. Образованный угол AOB именуется линейным углом двугранного угла с ребром a.Таким образом, для измерения угла между двумя пересекающимися плоскостями ? и ? нужно измерить линейный угол ?AOB.

Совет 5: Как обнаружить косинус угла между векторами

Вектором в геометрии называют направленный отрезок либо упорядоченную пару точек евклидова пространства. Длиной вектора — скаляр, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат (компонент) вектора.



Вам понадобится

• Базовые познания по геометрии и алгебре.

Инструкция

1. Косинус угла между векторами находят из их скалярного произведения. Сумма произведения соответствующих координат вектора равна произведению их длин на косинус угла между ними. Пускай даны два вектора: a(x1, y1) и b(x2, y2). Тогда скалярное произведение дозволено записать в виде равенства: x1*x2 + y1*y2 = |a|*|b|*cos(U), где U – угол между векторами.Скажем, координаты вектора a(0, 3), а вектора b(3, 4).

2. Выражая из полученного равенства cos(U) получается, что cos(U) = (x1*x2 + y1*y2)/(|a|*|b|). В примере формула позже подстановки вестимых координат примет вид: cos(U) = (0*3 + 3*4)/(|a|*|b|) либо cos(U) = 12/(|a|*|b|).

3. Длина векторов находится по формулам: |a| = (x1^2 + y1^2)^1/2, |b| = (x2^2 + y2^2)^1/2. Подставив в качестве координат векторов a(0, 3), b(3, 4) получается, соответственно, |a|=3, |b|=5.

4. Подставляя полученные значения в формулу cos(U) = (x1*x2 + y1*y2)/(|a|*|b|), обнаружьте результат. Пользуясь обнаруженными длинами векторов, получите, что косинус угла между векторами a(0, 3), b(3, 4) равен: cos(U) = 12/15.

Обратите внимание!
Если все посчитано верно, косинус угла должен быть поменьше единицы. Также длины векторов не могут принимать негативные значения.

Полезный совет
Если длина одного из векторов равна нулю, значит это нулевой вектор, и тогда угол между ним и иным вектором равен 90 градусов.

Совет 6: Как обнаружить угол между вектором и плоскостью

Вектор – направленный отрезок прямой, имеющий определенную длину. В пространстве он задается тремя проекциями на соответствующие оси. Дозволено обнаружить угол между вектором и плоскостью, если она представлена координатами своей нормали, т.е. всеобщим уравнением.

Инструкция

1. Плоскость – это основная пространственная фигура геометрии, которая участвует в построении всех двухмерных и трехмерных форм, таких как треугол ьник, квадрат, параллелепипед, призма, окружность, эллипс и т.д. В всяком определенном случае она ограничивается определенным комплектом линий, которые, пересекаясь, образуют замкнутую фигуру.

2. В всеобщем же виде плоскость не ограничивается ничем, она простирается по различные стороны от своей образующей прямой. Это плоская безмерная фигура, которая, тем не менее, может быть задана уравнением, т.е. финальными числами, которые являются координатами ее типичного вектора.

3. Исходя из вышесказанного, дозволено обнаружить угол между любым вектором и плоскостью, применяя формулу косинуса угла между двумя векторами. Направленные отрезки могут быть расположены в пространстве как желательно, впрочем всякий вектор владеет таким свойством, что его дозволено перемещать без потери основных колляций, направления и длины. Этим и надобно воспользоваться, дабы рассчитать угол между отстоящими векторами, разместив их зрительно в одну исходную точку.

4. Выходит, пускай задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А•x + В•y + C•z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла ? между векторами V и N равен:сos ? = (а•А + b•В + с•C)/(?(а? + b? + с?)•?(А? + В? + C?)).

5. Дабы вычислить величину угла в градусах либо радианах, необходимо от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т.е. арккосинус:? = аrссos ((а•А + b•В + с•C)/(?(а? + b? + с?)•?(А? + В? + C?))).

6. Пример: обнаружьте угол между вектором (5, -3, и плоскостью, заданной всеобщим уравнением 2•x – 5•y + 3•z = 0.Решение: выпишите координаты типичного вектора плоскости N = (2, -5, 3). Подставьте все вестимые значения в приведенную формулу:сos ? = (10 + 15 + 24)/?3724 ? 0,8 ? ? = 36,87°.

Видео по теме

Совет 7: Как обнаружить градусную меру угла

Измерение величин плоских углов в градусах придумали в старинном Вавилоне задолго до начала нашей эпохи. Обитатели этого государства выбирали шестидесятеричную систему исчисления, следственно деление углов на 180 либо 360 единиц сегодня выглядит немножко необычно. Однако, предлагаемые в нынешней системе СИ единицы измерения, кратные числу Пи, не мене необычны. Этими двумя вариантами не ограничиваются используемые сегодня обозначения углов, следственно задача перевода их величин в градусную меру появляется довольно зачастую.

Инструкция

1. Если в градусную меру надобно перевести величину угла в радианах, исходите из того, что одному градусу соответствует число радиан, равное 1/180 доле числа Пи. Эта математическая константа имеет безграничное число знаков позже запятой, следственно и показатель перевода из радиан в градусы тоже является безграничной десятичной дробью. Это обозначает, что безусловно точного значения в формате десятичной дроби получить не получится, следственно показатель перевода надобно округлить. Скажем, при точности в одну миллиардную долю единицы расчетный показатель будет равен 0,017453293. Позже округления до необходимого числа знаков, поделите на данный показатель начальное число радиан, и вы получите градусную меру угла.

2. При решении математических задач из разделов, относящихся к геометрии, зачастую встречаются формулы, в которых величины углов выражены не радианами, а долями числа Пи. Если вы получите решение, содержащее эту константу, для перевода его в градусы замените ? числом 180. Скажем, если центральный угол определен выражением ?/4, это обозначает, что его градусная мера равна 180°/4=45°.

3. Углы могут быть выражены и единицами, которые имеют наименование «цикл». Такая единица соответствует 360°, следственно задач с пересчетом появиться не должно. Скажем, если в задании говорится об угле в полтора цикла, это соответствует 360*1,5=540° в градусном измерении.

4. Изредка в геометрических задачах упоминается развернутый угол. Она образуется двумя лучами противоположного направления, то есть лежащими на одной прямой. Используйте число 180 для выражения величины развернутого угла в градусах.

5. В геодезии, картографии, астрономии градусы делятся на еще больше мелкие единицы, которые имеют личные наименования – минуты и секунды. Это деление имеет корни там же, где и градусы, следственно всякий градус включает в себя 60 минут либо 3600 секунд. Используйте эти числа, если секунды и минуты нужно заменить десятыми долями градуса. Скажем, углу в 11°14’22” соответствует десятичная дробь, примерно равная 11 + 14/60 + 22/3600 ? 11,2394°.

Совет 8: Как обнаружить синус угла между векторами

Вектор в многомерном евклидовом пространстве задается координатами своей исходной точки и точки, определяющей его величину и направление. Отличие между направлениями 2-х таких векторов определяется величиной угла. Зачастую в различного рода задачах из области физики и математики предлагается обнаружить не сам данный угол, а величину производной от него тригонометрической функции – синуса.

Инструкция

1. Используйте для определения синуса угла между двумя векторами знаменитые формулы скалярного умножения векторов. Таких формул существует, как минимум, две. В одной из них в качестве переменной задействован косинус надобного угла , узнав тот, что вы сумеете вычислить и синус.

2. Составьте равенство и вычлените из него косинус. По одной формуле скалярное произведение векторов равно их длинам, перемноженным друг на другу и на косинус угла , а по иной – сумме произведений координат по всей из осей. Приравняв обе формулы дозволено сделать итог, что косинус угла должен быть равен отношению суммы произведений координат к произведению длин векторов.

3. Запишите полученное равенство. Для этого нужно обозначить координаты обоих векторов. Возможен, они даны в трехмерной декартовой системе и их исходные точки перенесены в предисловие координатной сетки. Направление и величина первого вектора будет задана точкой (X?,Y?,Z?), второго – (X?,Y?,Z?), а угол обозначьте буквой ?. Тогда длины всего из векторов дозволено высчитать, скажем, по теореме Пифагора для треугольников, образуемых их проекциями на всякую из координатных осей: ?(X?? + Y?? + Z??) и ?(X?? + Y?? + Z??). Подставьте эти выражения в сформулированную на предыдущем шаге формулу и вы получите такое равенство: cos(?) = (X?*X? + Y?*Y? + Z?*Z?) / (?(X?? + Y?? + Z??) * ?( X?? + Y?? + Z??)).

4. Используйте тот факт, что сумма возведенных в квадрат значений синуса и косинуса от угла одной величины неизменно дает единицу. Значит, построив полученное на предыдущем шаге выражение для косинуса в квадрат и отняв от единицы, а после этого обнаружь квадратный корень, вы решите задачу. Запишите необходимую формулу в всеобщем виде: sin(?) = ?(1-cos(?)?) = ?(1 – ((X?*X? + Y?*Y? + Z?*Z?) / (?(X?? + Y?? + Z??) * ?( X?? + Y?? + Z??))?) = ?(1 – ((X?*X? + Y?*Y? + Z?*Z?)? / ((X?? + Y?? + Z??) * ( X?? + Y?? + Z??))).

Видео по теме

Совет 9: Как определить угол между векторами

Операции с векторами неоднократно вызывают трудности у школьников. Невзирая на присутствие ограниченного ряда формул, с которыми надобно оперировать, некоторые задачи вызывают трудности и задачи с решением. В частности, не все учащиеся старших классов способны вычислить угол между векторами .

Инструкция

1. Обратите внимание на то, что вычисление угла между двумя всякими векторами сводится к нахождению такого между векторами , имеющими всеобщую точку. Это зачастую вызывает недопонимание, впрочем объясняется довольно примитивно. Дабы два лежащих в одной плоскости вектора начинались в одной точке, вам нужно совершить операцию параллельного переноса. Но эта процедура никак не влияет на желанную величину.

2. Запомните всеобщее определение угла между двумя векторами : это поможет вам сложить представление о том, что требуется в задаче. Чай угол – это не цифры, а определенная действительность, обозначающая ту кратчайшую величину, на которую нужно повернуть один вектор (касательно своей исходной точки) до сонаправленности со вторым. Значимо рассматривать, что желанная величина угла должна быть в пределах от нуля до 3,14 радиан.

3. Не забывайте, что если вы имеете дело с коллинеарными либо параллельными векторами , величина угла составляет нуль градусов в случае их сонаправленности и 180 – для разнонаправленных векторов. Это следует из определения, потому что вам нужно повернуть 2-й вектор, дабы поменять его направление.

4. Воспользуйтесь легкой формулой, дозволяющей стремительно вычислить величину косинуса угла между векторами . Для этого вам нужно знать соответствующие координаты. Косинус угла представляет собой дробь, в числителе которой стоит скалярное произведение векторов, а в знаменателе – произведение их модулей. Для нахождения первой величины для векторов с координатами а1, а2, а3 и с1, с2, с3, обнаружьте сумму произведений а1с1, а2с2, а3с3. Модуль всякого вектора есть корень 2-й степени из суммы квадратов его координат.

5. Обратитесь к помощи электронных калькуляторов, которые по заданным параметрам векторов вычислят требуемый угол .

Видео по теме

Совет 10: Как вычислить угол между прямой и плоскостью

Прямая и плоскость – основные представления геометрии. Эти двухмерная и трехмерная фигуры, которые являются основами для построения всяких плоских и пространственных конструкций. Неизменно дозволено вычислить угол между прямой и плоскостью по их уравнениям.

Инструкция

1. Прямая и плоскость – два взаимосвязанных геометрических представления. Через всякие две точки плоскости дозволено провести прямую линию, состоящую из ее же точек. А любая прямая принадлежит какой-нибудь плоскости. Любая фигура в геометрии – общность пересекающихся линий и ограниченных ими участков поверхности, от простейших треугольника и окружности до нестандартных выпуклых многоугольников и призм.

2. Для всей прямой в пространстве дозволено обнаружить проекцию на некоторую плоскость. Таким образом, дозволено вычислить угол между ними, как смежный к углу, образованному векторами направления и нормали. Скажем, пускай задано каноническое уравнение прямой L и всеобщее уравнение плоскости P:L: (х – х0)/p = (у – у0)/r = (z – z0)/s;P: А•х + B•у + С•z + D = 0.

3. Показатели этих уравнений – координаты вектора направления прямой и вектора нормали для плоскости. Тогда задача определения угла между прямой линией и ее проекцией сводится к поиску смежного угла между этими векторами. Смежный угол в данной обстановки составляет в сумме с желанным 90° либо ?/2. Обнаружьте косинус угла (?/2 – ?) по знаменитой формуле:cos (?/2 – ?) = sin ? = |p•А + r•B + s•C|/(?(p? + r? + s?)•?(А? + B? + C?)).

4. Частные случаи, когда данный угол равен 90° либо 180°, являются доказательством их перпендикулярности либо параллельности. Тогда:• если А/p = B/r = С/s – прямая перпендикулярна плоскости;• если А•р + B•r + С•s = 0 – прямая параллельна плоскости.

5. Пример: обнаружить угол между прямой (х – 1)/4 = (у + 3)/-2 = (z – 8)/1 и плоскостью 5•х + 3•у – 4•z = 0.РешениеВыпишите координаты вектора направления прямой – (4, -2, 1) и типичного вектора плоскости – (5, 3, -4). Подставьте все значения в формулу синуса угла:sin ? = |20 – 6 – 4|/(?(16 + 4 + 1)•?(25 + 9 + 16)) ? 0,3.

6. Вычислите арксинус получившейся величины, дабы определить желанный угол ?:? = аrсsin 0,3 ? 17,46°.

Видео по теме


Полезный совет
Если два вектора отложены не от одной точки, то для нахождения угла между ними параллельным переносом необходимо совместить начала этих векторов.Угол между двумя векторами не может быть огромнее 180 градусов.