Как обнаружить точку, симметричную касательно прямой
Пускай даны некоторая прямая, заданная линейным уравнением, и точка, заданная своими координатами (x0, y0) и не лежащая на этой прямой. Требуется обнаружить точку, которая была бы симметрична данной точке касательно данной прямой, то есть совпадала бы с ней, если плоскость мысленно согнуть напополам по этой прямой.
Инструкция
1. Ясно, что обе точки — заданная и желанная — обязаны лежать на одной прямой, причем эта прямая должна быть перпендикулярна данной. Таким образом, первая часть задачи заключается в том, дабы обнаружить уравнение прямой, которая была бы перпендикулярна некоторой данной прямой и при этом проходила бы через данную точку.
2. Прямая может быть задана двумя методами. Каноническое уравнение прямой выглядит так: Ax + By + C = 0, где A, B, и C — константы. Также прямую дозволено определить при помощи линейной функции: y = kx + b, где k — угловой показатель, b — смещение.Эти два метода взаимозаменяемы, и от всякого дозволено перейти к иному. Если Ax + By + C = 0, то y = – (Ax + C)/B. Иными словами, в линейной функции y = kx + b угловой показатель k = -A/B, а смещение b = -C/B. Для поставленной задачи комфортнее рассуждать, исходя из канонического уравнения прямой.
3. Если две прямые перпендикулярны друг другу, и уравнение первой прямой Ax + By + C = 0, то уравнение 2-й прямой должно выглядеть Bx – Ay + D = 0, где D — константа. Дабы обнаружить определенное значение D, необходимо добавочно знать, через какую точку проходит перпендикулярная прямая. В данном случае это точка (x0, y0).Следственно, D должно удовлетворять равенству: Bx0 – Ay0 + D = 0, то есть D = Ay0 – Bx0.
4. Позже того как перпендикулярная прямая обнаружена, надобно вычислить координаты точки ее пересечения с данной. Для этого требуется решить систему линейных уравнений:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0.Ее решение даст числа (x1, y1), служащие координатами точки пересечения прямых.
5. Желанная точка должна лежать на обнаруженной прямой, причем ее расстояние до точки пересечения должно быть равно расстоянию от точки пересечения до точки (x0, y0). Координаты точки, симметричной точке (x0, y0), дозволено, таким образом, обнаружить, решив систему уравнений:Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0)^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).
6. Но дозволено поступить проще. Если точки (x0, y0) и (x, y) находятся на равных расстояниях от точки (x1, y1), и все три точки лежат на одной прямой, то:x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0.Следственно, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Подставив эти значения во второе уравнение первой системы и упростив выражения, легко удостовериться, что правая его часть становится одинакова левой. Добавочно рассматривать первое уравнение теснее нет смысла, от того что знаменито, что точки (x0, y0) и (x1, y1) ему удовлетворяют, а точка (x, y) заведомо лежит на той же прямой.
