Как найти собственные векторы и собственные значения для матриц

Как обнаружить личные векторы и личные значения для матриц

При рассмотрении данного вопроса следует запомнить, что все используемые объекты – это векторы , причем n-мерные. При их записи не применяются никакие отличительные знаки, соответствующие типичным векторам.

Инструкция

1. Число k называют собственным значением (числом) матрицы А, если существует вектор х такой, что Ax=kx. (1)При этом вектор х именуется собственным вектором матрицы А, соответствующим числу k.В пространстве R^n (см. рис.1) матрица А имеет вид как на рисунке.

2. Нужно поставить задачу нахождения собственных чисел и векторов матрицы А. Пускай личный вектор x задан координатами. В матричной форме он запишется матрицей-столбцом, тот, что для комфорта следует представить транспонированной строкой. X=(x1,x2,…,xn)^T.Исходя из (1), Aх-kх=0 либо Aх-kEх=0, где E – единичная матрица (единицы расположены на основное диагонали, все остальное элементы – нули). Тогда (А-kE)х=0. (2)

3. Выражение (2) является системой линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет ненулевое решение (личный вектор). Следственно основный определитель системы (2) равен нулю, то есть |А-kE|=0. (3) Последнее равенство касательно собственного значения k именуется характеристическим уравнением матрицы А и в развернутом виде имеет вид (см. рис.2).

4. Это алгебраическое уравнение n-й степени. Действительные корни характеристического уравнения являются собственными числами (значениями) матрицы А.

5. Подставляя корень k характеристического уравнения в систему (2), получают однородную систему линейных уравнений с вырожденной матрицей (ее определитель равен нулю). Всякое ненулевое решение этой системы представляет собой личный вектор матрицы А, соответствующий данному собственному числу k (то есть корню характеристического уравнения).

6. Пример. Обнаружить личные значения и векторы матрицы А (см. рис 3).Решение. Характеристическое уравнение представлено на рис. 3. Раскройте определитель и обнаружьте личные числа матрицы, которые являются корнями данного уравнения (3-k)(-1-k)-5=0, (k-3)(k+1)-5=0, k^2-2k-8=0.Его корни k1=4, k2=-2

7. а) Личные векторы, соответствующие k1=4, находятся, через решение системы (A-4kE)х=0. При этом требуется каждого одно ее уравнение, потому что определитель системы заведомо равен нулю. Если положить х=(x1, x2)^T, то первое уравнение системы (1-4)x1+x2=0, -3×1+x2=0. Если предположить, что х1=1 (только не нуль), то х2=3. Потому что ненулевых решений у однородной системы с вырожденной матрицей сколь желательно много, то все уйма собственных векторов, соответствующих первому собственному числу х =С1(1, 3), C1=const.

8. б) Обнаружьте личные векторы, соответствующие k2=-2. При решении системы (A+2kE)х=0, ее первое уравнение (3+2)х1+х2=0, 5х1+х2=0.Если положить х1=1, то х2=-5. Соответственные личные векторы х =С2(1, 3), C2=const. Всеобщее уйма всех собственных векторов заданной матрицы: х =С1(1, 3)+ С2(1, 3).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий