Как обнаружить расстояние от точки до прямой в пространстве

В аналитической геометрии расположение множества точек, принадлежащих прямой линии в пространстве, описывается уравнением. Для всякий точки пространства касательно этой линии дозволено определить параметр, тот, что именуется отклонением. Если он равен нулю, значит, точка лежит на линии, а всякое другое значение отклонения, взятое по модулю, определяет кратчайшее расстояние между прямой и точкой. Рассчитать его дозволено, если знаменито уравнение линии и координаты точки.

Инструкция

1. Для решения задачи в всеобщем виде обозначьте координаты точки как A?(X?;Y?;Z?), координаты ближайшей к ней точки на рассматриваемой прямой – как A?(X?;Y?;Z?), а уравнение прямой запишите в таком виде: a*X + b*Y + c*Z – d = 0. Вам надобно определить длину отрезка A?A?, тот, что лежит на линии, перпендикулярной по отношению к описываемой уравнением. Перпендикулярный («типичный») направляющий вектор ? = {a;b;c} поможет составить канонические уравнения проходящей через точки A? и A? прямой: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c.

2. Запишите канонические уравнения в параметрической форме (X = a*t+X?, Y = b*t+Y? и Z = c*t+Z?) и обнаружьте значение параметра t?, при котором начальная и перпендикулярная к ней прямые пересекаются. Для этого подставьте параметрические выражения в уравнение начальной прямой: a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z?) – d = 0. После этого выразите из равенства параметр t?: t? = (d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?).

3. Подставьте полученное на предыдущем шаге значение t? в определяющие координаты точки A? параметрические уравнения: X? = a*t?+X? = a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?, Y? = b*t?+Y? = b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y? и Z? = c*t?+Z? = c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?. Сейчас у вас есть координаты 2-х точек, осталось рассчитать определяемое ими расстояние (L).

4. Для приобретения численного значения расстояния между точкой с вестимыми координатами и прямой, задаваемой знаменитым уравнением, рассчитайте численные значения координат точки A?(X?;Y?;Z?) по формулам из предыдущего шага и подставьте значения в эту формулу:L = (a*(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / (a? + b? + c?)Если же и итог нужно получить в всеобщем виде, он будет описываться достаточно массивным уравнением. Замените величины проекций точки A? на три координатные оси равенствами из предыдущего шага и упростите насколько допустимо полученное равенство:L = (a*(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?) + b*(Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?) + c*(Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(2*X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + b*(2*Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + c*(2*Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c?) = (2*a*X? – a?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*b*Y? – b?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*c*Z? – c?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)

5. Если значение имеет только численный итог, а ход решения задачи не значим, воспользуйтесь онлайн-калькулятором, тот, что предуготовлен именно для расчета расстояния между точкой и прямой в ортогональной системе координат трехмерного пространства – http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/p_line. Тут вы можете разместить в соответствующие поля координаты точки, ввести уравнение прямой в параметрическом либо каноническом виде, а после этого получить результат, щелкнув по кнопке «Обнаружить расстояние от точки до прямой».

Видео по теме