Как обнаружить производную от дроби

Происхождение дифференциального исчисления вызвано необходимостью решать определенные физические задачи. Предполагается, что человек, обладающий дифференциальным исчислением, может брать производные от разных функций. Умеете ли вы брать производную от функции, выраженной дробью?

Инструкция

1. Любая дробь имеет числитель и знаменатель. В процессе нахождения производной от дроби понадобится находить отдельно производную числителя и производную знаменателя.

2. Дабы обнаружить производную от дроби , производную числителя домножьте на знаменатель. Вычтите из полученного выражения производную знаменателя, помноженную на числитель. Итог поделите на знаменатель в квадрате.

3. Пример 1[sin (x) / cos (x)]’ = [sin’ (x) · cos (x) — cos’ (x) · sin (x)] / cos? (x) = [cos (x) · cos (x) + sin (x) · sin (x)] / cos? (x) = [cos? (x) + sin? (x)] / cos? (x) = 1 / cos? (x).

4. Полученный итог является ничем другим, как табличным значением производной функции тангенса. Оно и внятно, чай отношение синуса к косинусу и есть, по определению, тангенс. Выходит,tg (x) = [sin (x) / cos (x)]’ = 1 / cos? (x).

5. Пример 2[(x? — 1) / 6x]’ = [(2x · 6x — 6 · x?) / 6?] = [12x? — 6x?] / 36 = 6x? / 36 = x? / 6.

6. Частным случаем дроби является такая дробь, у которой в знаменателе единица. Обнаружить производную от такого вида дроби проще: довольно представить ее в виде знаменателя со степенью (-1).

7. Пример(1 / x)’ = [x^(-1)]’ = -1 · x^(-2) = -1 / x?.

Обратите внимание!
Дробь может содержать в своем составе еще несколько дробей. В таком случае комфортнее находить вначале отдельно производные «первичных» дробей.

Полезный совет
Когда вы ищите производные знаменателя и числителя, применяйте правила дифференцирования: суммы, произведения, трудных функций. Пригодно удерживать в голове производные простейших табличных функций: линейной, показательной, степенной, логарифмической, тригонометрических и т.д.