Как найти площадь диагонального сечения

Содержание
  1. Совет 1: Как обнаружить площадь диагонального сечения
  2. Инструкция
  3. Совет 2: Как обнаружить площадь куба
  4. Инструкция
  5. Совет 3: Как обнаружить площадь пирамиды
  6. Инструкция
  7. Совет 4: Сечение параллелепипеда: как рассчитать его площадь
  8. Инструкция
  9. Совет 5: Как обнаружить длину ребра пирамиды
  10. Инструкция
  11. Совет 6: Как обнаружить диагональ осевого сечения
  12. Инструкция
  13. Совет 7: Как возвести сечение пирамиды
  14. Инструкция
  15. Совет 8: Как обнаружить площадь оснований пирамиды
  16. Инструкция
  17. Совет 9: Как возвести сечение куба
  18. Инструкция
  19. Совет 10: Как возвести сечение параллелепипеда
  20. Инструкция
  21. Совет 11: Как рассчитать площадь куба
  22. Инструкция
  23. Совет 12: Как обнаружить длину диагоналей параллелепипеда
  24. Инструкция
  25. Совет 13: Как обнаружить естественную величину сечения
  26. Инструкция
  27. Совет 14: Как обнаружить площадь положительной четырехугольной пирамиды
  28. Инструкция
  29. Совет 15: Как обнаружить площадь сечения куба
  30. Инструкция

Совет 1: Как обнаружить площадь диагонального сечения

Если по обе стороны некоторой плоскости есть точки, принадлежащие объемной фигуре (скажем, многограннику), эту плоскость дозволено назвать секущей. А двухмерная фигура, образованная всеобщими точками плоскости и многогранника, в этом случае именуется сечением. Такое сечение будет являться диагональным, если одна из диагоналей основания принадлежит секущей плоскости.

Инструкция

1. Диагональное сечение куба имеет форму прямоугольника, площадь которого (S) несложно рассчитать, зная длину всякого ребра (a) объемной фигуры. В этом прямоугольнике одной из сторон будет высота, совпадающая с длиной ребра. Длину иной – диагонали – рассчитайте по теореме Пифагора для треугольника, в котором она является гипотенузой, а два ребра основания – катетами. В всеобщем виде ее дозволено записать так: a*?2. Площадь диагонального сечения обнаружьте умножением 2-х его сторон, длины которых вы узнали: S = a*a*?2 = a?*?2. Скажем, при длине ребра в 20 см площадь диагонального сечения куба должна быть приблизительно равна 20?*?2 ? 565,686 см?.

2. Для вычисления площади диагонального сечения параллелепипеда (S) действуйте так же, но рассматривайте, что в теореме Пифагора в этом случае участвуют катеты различной длины – длина (l) и ширина (w) объемной фигуры. Длина диагонали в этом случае будет равна ?(l?+w?). Высота (h) тоже может отличаться от длин ребер оснований, следственно в всеобщем виде формула площади сечения может быть записана так: S = h*?(l?+w?). Скажем, если длина, высота и ширина параллелепипеда равны, соответственно, 10, 20 и 30 см, площадь его диагонального сечения составит примерно 30*?(10?+20?) = 30*?500 ? 670,82 см?.

3. Диагональное сечение четырехугольной пирамиды имеет треугольную форму. Если высота (H) этого многогранника вестима, а в его основании лежит прямоугольник, длины смежных ребер (a и b) которого тоже даны в условиях, расчет площади сечения (S) начните с вычисления длины диагонали основания. Как и в предыдущих шагах используйте для этого треугольник из 2-х ребер основания и диагонали, где по теореме Пифагора длина гипотенузы равна ?(a?+b?). Высота пирамиды в таком многограннике совпадает с высотой треугольника диагонального сечения , опущенной на сторону, длину которой вы только что определили. Следственно для нахождения площади треугольника обнаружьте половину от произведения высоты на длину диагонали: S = ?*H*?(a?+b?). Скажем, при высоте в 30 см и длинах смежных сторон основания в 40 и 50 см площадь диагонального сечения должна быть приблизительно равна ?*30*?(40?+50?) = 15*?4100 ? 960,47 см?.

Совет 2: Как обнаружить площадь куба

Кубом называют верный многогранник, всякая грань которого является квадратом. Площадью куба называют площадь его поверхности, которая состоит из суммы площадей его граней, то есть, из суммы площадей квадратов, которые образуют куб.



Вам понадобится

  • Базовые познания стереометрии.

Инструкция

1. Вычислим площадь одной грани куба. Потому что гранью куба является квадрат, то площадь грани равна площади квадрата, то есть длине ребра куба в квадрате. Скажем: длина ребра куба равна 5, тогда площадь его грани 5*5=25.

2. Площадь поверхности куба состоит из шести равных между собой граней. Следственно, площадь поверхности каждого куба равна площади одной грани взятой шесть раз. Умножим площадь грани на шесть и получим площадь поверхности куба. Скажем, площадь грани равна 25, тогда площадь поверхности куба 25*6=150.

Видео по теме


Обратите внимание!
Площадь грани, как и площадь поверхности куба величины неизменно правильные.

Полезный совет
Эта формула подходит только для куба, потому что он является положительным многогранником.

Совет 3: Как обнаружить площадь пирамиды

Пирамида – трудное геометрическое тело. Оно образовано плоским многоугольником (основание пирамиды), точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершина пирамиды) и всех отрезков, которые соединяют точки основания пирамиды с вершиной. Как же обнаружить площадь пирамиды?



Вам понадобится

  • линейка, карандаш и бумага

Инструкция

1. Площадь боковой поверхности всякий пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.Т.к. все боковые грани пирамиды треугольники, то нужно обнаружить сумму площадей всех этих треугольников. Площадь треугольника вычисляется путем умножения длины основания треугольника на длину его высоты.

Как обнаружить площадь пирамиды

2. Основанием пирамиды является многоугольник. Если данный многоугольник поделить на треугольники, то площадь многоугольника легко вычислить как сумму площадей получившмхся при делении треугольников по теснее знаменитой нам формуле.

3. Обнаружив сумму площадей боковой поверхности пирамиды и основания пирамиды, дозволено обнаружить всеобщую площадь поверхности пирамиды.

4. Для вычислений площади положительной пирамиды пользуются особой формулой.Пример:Перед нами верная пирамида. В основании находится положительный n-угольник со стороной а. Высота боковой грани – h (кстати, имеет наименование апофема пирамиды). Площадь всей боковой грани равна 1/2ah. Каждая боковая поверхность пирамиды имеет площадь n/2ha, вычисляем путем сложения площадей боковых граней. na – это периметр основания пирамиды. Площадь этой пирамиды обнаружим так: произведение апофемы пирамиды и половины периметра её основания равно площади боковой поверхности положительной пирамиды.

5. Что касается площади полной поверхности, то примитивно к боковой прибавляем площадь основания, по тезису, рассмотренному выше.

Совет 4: Сечение параллелепипеда: как рассчитать его площадь

Масса задач составлена на основе свойств многогранников. Грани объёмных фигур, как и определенные точки на них, лежат в различных плоскостях. Если одну из таких плоскостей под определённым углом провести через параллелепипед, то часть плоскости, лежащая в пределах многогранника и разделяющая его на части, будет его сечением .



Вам понадобится

  • – линейка
  • – карандаш

Инструкция

1. Постройте параллелепипед. Помните, что его основание и всякая из граней обязаны представлять собой параллелограмм. Это обозначает, что вам нужно возвести многогранник так, дабы все противоположные рёбра параллельны. Если в условии сказано возвести сечение прямоугольного параллелепипеда , то его грани сделайте прямоугольными. У прямой параллелепипед прямоугольные только 4 боковые грани. Если боковые грани параллелепипеда не перпендикулярны основанию, то такой многогранник называют наклонным. Если вы хотите возвести сечение куба, первоначально начертите прямоугольный параллелепипед с равными размерами. Тогда все шесть его граней будут представлять собой квадраты. Назовите все вершины для комфорта обозначения.

2. Обозначьте две точки, которые будут принадлежать плоскости сечения. Изредка их расположение указано в задаче: расстояние от ближайшей вершины, конец отрезка, проведённого по определенным условиям. Сейчас проведите прямую через точки, лежащие в одной плоскости.

3. Обнаружьте прямые на пересечении секущей плоскости с гранями параллелепипеда . Для выполнения этого шага обнаружьте точки, в которых прямая, лежащая в плоскости сечения параллелепипеда , пересекается с прямой линией, принадлежащей грани параллелепипеда . Эти прямые обязаны находиться в одной плоскости.

4. Достройте сечение параллелепипеда . При этом помните, что ее плоскость должна пересекать параллельные грани параллелепипеда по параллельным прямым.

5. Стройте секущую плоскость в соответствии с начальными данными в задаче. Существует несколько вероятностей построения плоскости сечения, проходящей:- перпендикулярно заданной прямой линии через заданную точку;- перпендикулярно заданной плоскости через заданную прямую;- параллельно двум скрещивающимся прямым через заданную точку;- параллельно иной заданной прямой через иную заданную прямую;- параллельно заданной плоскости через заданную точку.По таким начальным данным стройте сечение по тезису, описанному выше.

Видео по теме


Обратите внимание!
Дабы возвести сечение параллелепипеда, необходимо определить точки пересечения плоскости сечения с ребрами параллелепипеда, а после этого объединить данные точки отрезками. Учтите, что соединять только те точки, которые лежат в плоскости одной грани. Параллельные грани параллелепипеда пересекайте секущей плоскостью по параллельным отрезкам. Если в плоскости грани только одна точка принадлежит плоскости сечения, постройте дополнительную такую точку. Для этого обнаружьте точки пересечения построенных прямых с теми прямыми, которые лежат в необходимых гранях.

Полезный совет
Параллелепипед имеет 6 граней. В его сечениях могут получиться треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и фигуры с шестью углами. Плоскость, в том числе и секущая, определяется:- тремя точками;- прямой линией и одной точкой;- двумя линиями, параллельными друг другу;- двумя прямыми, пересекающимися между собой.

Совет 5: Как обнаружить длину ребра пирамиды

Пирамида – это фигура, у которой есть основание в виде многоугольника и боковые грани со сходящимися вверху вершинами. Границы боковых граней именуются ребрами . А как же обнаружить длину ребра пирамиды?

Инструкция

1. Обнаружьте граничные точки ребра, длину которого ищете. Пускай это будут точки А и В.

2. Задайте координаты точек А и В. Их необходимо задавать трехмерными, т.к. пирамида – объемная фигура. Получите А(х1, у1, z1) и B(x2, y2, z2).

3. Вычислите необходимую длину , применяя всеобщую формулу: длина ребра пирамиды равняется корню суммы квадратов разниц соответствующих координат граничных точек. Подставьте цифры ваших координат в формулу и обнаружьте длину ребра пирамиды. Таким же образом обнаружьте длину ребер не только верной пирамиды, но и прямоугольной, и усеченной, и произвольной.

4. Обнаружьте длину ребра пирамиды, у которой все ребра равны, заданы стороны основания фигуры и знаменита высота. Определите месторасположение основания высоты, т.е. нижней ее точки. Потому что ребра равны, значит дозволено провести окружность, центром которой будет точка пересечения диагоналей основания.

5. Проведите прямые линии, соединяющие противоположные углы основания пирамиды. Подметьте точку, где они пересекаются. Эта же точка и будет нижней рубежом высоты пирамиды.

6. Обнаружьте длину диагонали прямоугольника с поддержкой теоремы Пифагора, где сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Получите а2+b2=c2, где а и b – катеты, а с – гипотенуза. Гипотенуза тогда будет равна корню из суммы квадратов катетов.

7. Обнаружьте длину ребра пирамиды. Вначале поделите длину диагонали напополам. Все полученные данные подставьте значения в формулу Пифагора, описанную выше. Подобно предыдущему примеру обнаружьте корень из суммы квадратов высоты пирамиды и половины диагонали.

Совет 6: Как обнаружить диагональ осевого сечения

Осевым именуется сечение, которое проходит через ось геометрического тела, образованного при вращении некой геометрической фигуры. Цилиндр получается в итоге вращения прямоугольника вокруг одной из сторон, и этим обусловлены многие его свойства. Образующие этого геометрического тела параллельны и равны между собой, что дюже главно для определения параметров его осевого сечения, в том числе диагонали.



Вам понадобится

  • – цилиндр с заданными параметрами;
  • – лист бумаги;
  • – карандаш;
  • – линейка;
  • – циркуль;
  • – теорема Пифагора;
  • – теоремы синусов и косинусов.

Инструкция

1. Постройте цилиндр согласно заданным условиям. Для того дабы его начертить, вам нужно знать радиус основания и высоту. Впрочем в задаче на определение диагонали могут быть указаны и другие данные — скажем, угол между диагональю и образующей либо диаметром основания. В этом случае при создании чертежа используйте тот размер, тот, что вам задан. Остальные возьмите произвольно и укажите, что именно вам дано. Обозначьте точки пересечения оси и оснований как О и О’.

2. Начертите осевое сечение. Оно представляет собой прямоугольник, два стороны которого являются диаметрами оснований, а две другие — образующими. От того что и образующие перпендикулярны основаниям, они являются единовременно и высотами данного геометрического тела. Обозначьте получившийся прямоугольник как АВСD. Проведите диагонали АС и ВD. Припомните свойства диагоналей прямоугольника. Они равны между собой и делятся в точке пересечения напополам.

3. Разглядите треугольник АDC. Он прямоугольный, от того что образующая CD перпендикулярна основанию. Один катет представляет собой диаметр основания, 2-й — образующую. Диагональ является гипотенузой. Припомните, как вычисляется длина гипотенузы всякого прямоугольного треугольника. Она равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. То есть в данном случае d=?4r2+h2, где d – диагональ, r – радиус основания, а h – высота цилиндра.

4. Если в задаче высота цилиндра не дана, но указан угол диагонали осевого сечения с основанием либо образующей, используйте теорему синусов либо косинусов. Припомните, что обозначают данные тригонометрические функции. Это отношения противолежащего либо прилежащего заданному угол катета к гипотенузе, которую вам и необходимо обнаружить. Возможен, вам заданы высота и угол CAD между диагональю и диаметром основания. В этом случае используйте теорему синусов, от того что угол CAD находится наоборот образующей. Обнаружьте гипотенузу d по формуле d=h/sinCAD. Если же вам задан радиус и данный же угол, используйте теорему косинусов. В этом случае d=2r/cos CAD.

5. По тому же тезису действуйте и в тех случаях, когда заданы угол ACD между диагональю и образующей. В этом случае теорема синусов применяется, когда дан радиус, а косинусов — если вестима высота.

Видео по теме

Совет 7: Как возвести сечение пирамиды

Поверхность пирамиды – это поверхность многогранника. Вся ее грань представляет собой плоскость, следственно сечение пирамиды, заданной секущей плоскостью – это ломаная линия, состоящая из отдельных прямых.



Вам понадобится

  • – карандаш, – линейка, – циркуль.

Инструкция

1. Постройте линию пересечения поверхности пирамиды с фронтально-проектирующей плоскостью ?(?2).Вначале подметьте точки желанного сечения, которые дозволено определить без вспомогательных секущих плоскостей.

2. Плоскость ? пересекает основание пирамиды по прямой 1-2. Подметьте точки 12?22 – фронтальную проекцию этой прямой – и при помощи вертикальной линии связи постройте их горизонтальные проекции 11,21 на сторонах основания А1С1 и В1С1

3. Ребро пирамиды SA(S2A2) пересекает плоскость ?(?2) в точке 4(42). На горизонтальной проекции ребра S1A1 при помощи линии связи обнаружьте точку 41.

4. Через точку 3(32) проведите в качестве вспомогательной секущей плоскости горизонтальную плоскость яруса Г(Г2). Она параллельна плоскости проекций П1 и в сечении с поверхностью пирамиды даст треугольник, сходственный основанию пирамиды. На S1A1 подметьте точку Е1, на S1С1 – точку К1. Проведите линии, параллельные сторонам основания пирамиды А1В1С1, и на ребре S1В1 обнаружьте точку 31. Объединив точки 11, 21, 41, 31, получите горизонтальную проекцию желанного сечения поверхности пирамиды заданной плоскостью. Общая проекция сечения совпадает с общей проекцией этой плоскости ?(?2).

5. На S1A1 подметьте точку Е1, на S1С1 – точку К1. Проведите линии, параллельные сторонам основания пирамиды А1В1С1, и на ребре S1В1 обнаружьте точку 31. Объединив точки 11, 21, 41, 31, получите горизонтальную проекцию желанного сечения поверхности пирамиды заданной плоскостью. Общая проекция сечения совпадает с общей проекцией этой плоскости ?(?2).

6. Таким образом, задача решается, исходя из тезиса принадлежности обнаруженных точек единовременно двум геометрическим элементам – поверхности пирамиды и заданной секущей плоскости ?(?2).

Видео по теме


Обратите внимание!
В инженерной практике при выполнении технических чертежей сходственные построения линий пересечения всяких поверхностей с плоскостью используются при разработке машин, создании планов и деталей зданий (панелей, перекрытий, стен, плоскости ската крыши) и проектировании разных строительных конструкций и сооружений.

Совет 8: Как обнаружить площадь оснований пирамиды

Два основания могут быть только у усеченной пирамиды . В этом случае второе основание образуется сечением, параллельным большему основанию пирамиды . Обнаружить одно из оснований дозволено в том случае, если вестима площадь либо линейные элементы второго.



Вам понадобится

  • – свойства пирамиды;
  • – тригонометрические функции;
  • – подобие фигур;
  • – нахождение площадей многоугольников.

Инструкция

1. Площадь большего основания пирамиды находится как площадь многоугольника, тот, что ее представляет. Если это верная пирамида, то в ее основании лежит положительный многоугольник. Дабы узнать его площадь, довольно знать каждого одну из его сторон.

2. Если крупное основание представляет собой положительный треугольник, обнаружьте его площадь, умножив квадрат стороны, на корень квадратный из 3 поделенный на 4. Если основание представляет собой квадрат, возведите его сторону во вторую степень. В всеобщем случае, для всякого верного многоугольника примените формулу S=(n/4)•a?•ctg(180?/n), где n – число сторон верного многоугольника, a – длина его стороны.

3. Сторону меньшего основания обнаружьте, по формуле b=2•(a/(2•tg(180?/n))-h/tg(?))•tg(180?/n). Тут а – сторона большего основания, h – высота усеченной пирамиды , ? – двугранный угол при ее основании, n – число сторон оснований (оно идентичное). Площадь второго основания обнаружьте подобно первому, применяя в формуле длину его стороны S=(n/4)• b?•ctg(180?/n).

4. Если основания представляют собой другие типы многоугольников, знамениты все стороны одного из оснований , и одна из сторон иного, то остальные стороны вычислите как сходственные. Скажем, стороны большего основания 4, 6, 8 см. Огромная сторона меньшего основания рана 4 см. Вычислите показатель пропорциональности, 4/8=2 (берем огромные стороны в всяком из оснований ), и рассчитайте другие стороны 6/2=3 см, 4/2=2 см. Получим стороны 2, 3, 4 см в меньшем основании стороны. Сейчас вычислите их площади, как площади треугольников.

5. Если знаменито соотношение соответствующих элементов в усеченной пирамиде, то соотношение площадей оснований будет равно отношению квадратов этих элементов. Скажем, если вестимы соответствующие стороны оснований а и а1, то а?/а1?=S/S1.

Совет 9: Как возвести сечение куба

Сечение всякий объемной геометрической фигуры должно быть задано несколькими параметрами, причем так, дабы оно однозначно могло быть обнаружено. Плоскость в пространстве задается тремя точками, прямая двумя. Все это свидетельствует о том, что для этого нужно минимум три параметра. Чем бы ни была задана секущая плоскость, какими бы ни были эти параметры, их неизменно дозволено пересчитать. В самом всеобщем случае – это угол, под которым секущая плоскость рассекает данный куб и линия пересечение плоскости, содержащей нижнее основание куба и этой секущей плоскости. Сам же куб и его место расположения заданы механически.



Вам понадобится

  • – бумага;
  • – ручка;
  • – линейка;
  • – циркуль.

Инструкция

1. Испробуйте больше детально разобрать всеобщую задачу построения сечения куба. Пускай секущая плоскость задана прямой пересечения ее собственной плоскости с плоскостью, содержащей нижнее основание параллелепипеда l и углом наклона к этой плоскости ф.Каждый правило построения иллюстрирует рисунок.

Как возвести сечение куба

2. Решение. Всякий угол в геометрических задачах на построение задается не самим углом, а какой-нибудь его тригонометрической функцией, пускай это будет котангенс (ctg). Нужно отмерить в какой-нибудь метрической системе раствором циркуля длину Нctgф = d. Переведите данную величину в масштаб данной задачи и, опираясь на тезис подобия всех прямоугольных треугольников с всеобщим острым углом, исполните следующее.

3. На прямой l возьмите две произвольные точки N и F (желанно так, что бы дальше все продолжалось внутри нижнего основания куба АВСD). Из них, как из центров, проведите дуги радиуса d в ABCD. К этим дугам проведите всеобщую касательную l до ее пересечения с АВ и СD (дозволено и дальше). Точки касания обозначьте N1 и F1.

4. Из N1 и F1 нужно поднять перпендикуляры M1 и W1 на верхнее основание A1B1C1D1, длина которых равняется Н. Следственно точки пересечений искать не необходимо, правда это довольно легко. Сейчас продлите отрезок M1W1 до пресечения с В1С1 и С1D1 в М и W соответственно. Таким образом вы обнаружили первую сторону желанного сечения MW.

5. Дальше нужно в пределах плоскости, содержащей боковую грань DCC1D1, провести прямую WE из точки W (Е – ее пересечение с прямой l). Пересечение WE с D1D – точка R. Отрезок WR – второе ребро желанного сечения.

6. Продлите боковое ребро куба ВВ1 в направлении от В к В1. В плоскости диагонального сечения куба BB1D1D из R проведите прямую до ее пересечения с продлением ВВ1 в точке Е2. Из нее опустите прямую до ее пересечения с l в Е1. Прямая Е1Е2 пересекает боковые ребра куба А1В1 и АА1 в точках L и Q соответственно. Тогда ML, LQ и QR – оставшиеся желанные ребра сечения куба.

Совет 10: Как возвести сечение параллелепипеда

Во многих учебниках встречаются задания, связанные с построением сечений разных геометрических фигур, в том числе параллелепипедов. Для того дабы совладать с такой задачей, следует вооружиться некоторыми умениями.



Вам понадобится

  • – бумага;
  • – ручка;
  • – линейка.

Инструкция

1. На листе бумаге начертите параллелепипед. Если в вашей задаче сказано, что параллелепипед должен быть прямоугольным, то сделайте его углы прямыми. Помните, что противоположные ребра обязаны быть параллельны друг другу. Назовите его вершины, скажем, S1, T1, T, R, P, R1, P1 (как показано на рисунке).

Как возвести сечение параллелепипеда

2. На краю SS1TT1 поставьте 2 точки: А и С, пускай точка А будет на отрезке S1T1, а точка С на отрезке S1S. Если в вашей задаче не сказано, где именно обязаны стоять эти точки, и не указано расстояние от вершин, поставьте их произвольно. Проведите прямую линию через точки А и С. Продолжите эту линию до пересечения с отрезком ST. Обозначьте место пересечения, пускай это будет точка М.

3. Поставьте точку на отрезке RT, обозначьте ее как точку В. Проведите прямую линию через точки М и В. Точку пересечения этой линии с ребром SP обозначьте как точку К.

4. Объедините точки К и С. Они обязаны лежать на одной грани PP1SS1. Позже этого через точку B проведите прямую линию, параллельную отрезку КС, продолжите линию до пересечения с ребром R1T1. Точку пересечения обозначьте как точку Е.

5. Объедините точки А и Е. Позже этого выделите получившийся многоугольник ACKBE иным цветом – это будет сечение заданного параллелепипеда.

Обратите внимание!
Помните, что при построении сечения параллелепипеда дозволено соединять между собой только те точки, которые лежат в одной плоскости, если имеющихся у вас точек неудовлетворительно для построения сечения, достраивайте их, путем продолжения отрезков до пересечения с гранью, на которой необходима точка.

Полезный совет
Каждого в параллелепипеде может быть построено 4 сечения: 2 диагональных и 2 поперечных. Для большей наглядности, выделите получившийся многоугольник-сечение, для этого можете легко обвести либо заштриховать его иным цветом.

Совет 11: Как рассчитать площадь куба

Кубом называют объемную геометрическую фигуру с восемью ребрами, двенадцатью вершинами и шестью гранями. От параллелепипеда, имеющего такие же параметры, ее отличают непременное равенство длин всех ребер и прямые углы в вершинах всякой грани. Простота этой фигуры делает несложным вычисление всеобщей площади поверхности всех ее граней.

Инструкция

1. Если вестима длина ребра куба (a), то вы можете применять особенно общеизвестный из всех допустимых вариантов формулы вычисления площади его поверхности (S). По определению всякая грань этой фигуры имеет форму квадрата, а его площадь равна длине грани, возведенной во вторую степень. Потому что каждого таких граней у куба шесть, то это число нужно увеличить именно во столько раз: S = 6*a?.

2. Если длина ребра неведома, но дан объем (V) пространства, ограничиваемого сторонами куба , то площадь (S) тоже дозволено определить. Потому что исключительная вестимая из условий величина для этой фигуры находится возведением длины ребра в третью степень, то длину стороны всей грани дозволено определить, если извлечь кубический корень из этого параметра. Подставьте это выражение в равенство из предыдущего шага и вы получите такую формулу: S = 6*(??V)?.

3. Если знаменита длина диагонали куба (L), то через нее тоже дозволено выразить длину одной грани, а значит и рассчитать площадь поверхности гексаэдра. Диагональ находится умножением длины грани на квадратный корень из тройки – выразите из этой формулы размер одной стороны квадрата и подставьте полученное значение во все то же равенство из первого шага: S = 6*(L/?3)? = 2*L?.

4. Если вестим радиус описанной около куба сферы (R), то формулу вычисления площади поверхности дозволено вывести из полученного на предыдущем шагу выражения. Потому что любая из диагоналей куба совпадает с диаметром такой сферы, а диаметр – это удвоенный радиус, то вам нужно трансформировать формулу к такому виду: S = 2*(2*R)? = 8*R?.

5. Еще проще получить формулу вычисления площади поверхности (S) гексаэдра, если знаменит радиус (r) не описанной, а вписанной в эту фигуру сферы. Ее диаметр (удвоенный радиус) равен длине ребра куба . Подставьте это значение в формулу из первого шага и получите такое равенство: S = 6*(2*r)? = 24*r?.

Совет 12: Как обнаружить длину диагоналей параллелепипеда

Параллелепипедом именуется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, именуются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда.

Инструкция

1. У параллелепипеда дозволено возвести четыре пересекающиеся диагонали. Если вестимы данные 3 ребер а, b и с, обнаружить длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда не составит труда, исполняя добавочные построения.

2. Вначале нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Подпишите все знаменитые вам данные, их должно быть три: ребра а, b и с. Начертите первую диагональ m. Для ее построения воспользуйтесь свойством прямоугольных параллелепипедов, согласно которому все углы сходственных фигур являются прямыми.

3. Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда . Построение сделайте таким образом, дабы знаменитое ребро (а), незнакомая диагональ параллелепипеда и диагональ прилегающей грани (n) образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.

4. Посмотрите на построенную диагональ грани (n). Она является гипотенузой иного прямоугольного треугольника b, с, n. Следуя теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (n? = с? + b?), обнаружьте квадрат гипотенузы, после этого извлеките корень квадратный из полученного значения – это и будет длина диагонали грани n.

5. Обнаружьте диагональ самого параллелепипеда m. Для того, дабы обнаружить ее значение, в прямоугольном треугольнике а, n, m вычислите по той же формуле гипотенузу: m? = n? + a?. Вычислите корень квадратный. Обнаруженный итог будет первой диагональю вашего параллелепипеда . Диагональ m.

6. Верно так же проведите ступенчато все остальные диагонали параллелепипеда , для всякой из которых исполняйте добавочные построения диагоналей прилегающих граней. Применяя теорему Пифагора, обнаружьте значения остальных диагоналей данного параллелепипеда .

7. Есть еще один метод, с поддержкой которого дозволено обнаружить длину диагонали. Согласно одному из свойств параллелограмма, квадрат диагонали равен сумме квадратов 3 его сторон. Из этого следует, что длину дозволено обнаружить сложив квадраты сторон параллелепипеда и из получившегося значения извлечь квадрат.

Полезный совет
Свойства параллелепипеда:- параллелепипед симметричен касательно середины его диагонали;- всякий отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею напополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею напополам;- противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;- квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Совет 13: Как обнаружить естественную величину сечения

Свойствами фигур в пространстве занимается такой раздел геометрии, как стереометрия. Основным способом для решения задач в стереометрии является способ сечения многогранников. Он разрешает положительно строить сечения многогранников и определять вид этих сечений.

Инструкция

1. Определение вида сечения какой-нибудь фигуры, то есть естественной величины этого сечения , зачастую подразумевается при формулировке задач на построение наклонного сечения . Наклонное сечение положительнее называть фронтально-проецирующей секущей плоскостью. И для построения его естественной величины довольно исполнить несколько действий.

2. С поддержкой линейки и карандаша начертите фигуру в 3х проекциях – вид спереди, вид сверху и вид сбоку. На основной проекции на виде спереди покажите путь, по которому проходит фронтально-проецирующая секущая плоскость, для чего начертите наклонную прямую.

3. На наклонной прямой подметьте основные точки: точки вступления сечения и выхода сечения . Если фигурой является прямоугольник, то точек вступления и выхода будет по одной. Если фигурой является призма, то число точек удваивается. Две точки определяют вступление в фигуру и выход. Две другие определяют точки на боках призмы.

4. На произвольном расстоянии проведите прямую, параллельную фронтально-проецирующей секущей плоскости. После этого из точек, расположенных на оси основного вида, проведите вспомогательные линии перпендикулярно наклонной прямой, пока они не пересекутся с параллельной осью. Тем самым вы получите проекции полученных точек фигуры в новой координатной системе.

5. Дабы определить ширину фигуры, опустите прямые из точек основного вида на фигуру вида сверху. Обозначьте соответствующими индексами проекции точек при всяком пересечении прямой и фигуры. Скажем, если точка А принадлежит основному виду фигуры, то точки А’ и А” принадлежат проецирующим плоскостям.

6. Отложите в новой координатной системе расстояние, которое образуется между вертикальными проекциями основных точек. Фигура, которая получается в итоге построения, и является естественной величиной наклонного сечения .

Совет 14: Как обнаружить площадь положительной четырехугольной пирамиды

Пирамида – это многогранник, составленный из определенного числа имеющих одну всеобщую вершину плоских боковых поверхностей и одного основания. Основание, в свою очередь, имеет с всякой боковой гранью одно всеобщее ребро, и следственно его форма определяет всеобщее число граней фигуры. В верной четырехугольной пирамиде таких граней пять, но для вычисления полной площади поверхности довольно рассчитать площади лишь 2-х из них.

Инструкция

1. Полная площадь поверхности всякого многогранника складывается из суммы площадей его граней. В положительной четырехугольной пирамиде они представлены двумя формами многоугольников – в основании лежит квадрат, в боковые поверхности имеют треугольную конфигурацию. Начните расчеты, скажем, с вычисления площади четырехугольного основания пирамиды (S?). По определению положительной пирамиды в ее основании должен лежать верный многоугольник, в данном случае – квадрат. Если в условиях приведена длина ребра основания (a), легко возведите его во вторую степень: S? = a?. Если знаменита только длина диагонали основания (l), для вычисления площади обнаружьте половину ее квадрата: S? = l?/2.

2. Определите площадь треугольной боковой грани пирамиды S?. Если знаменита длина ее всеобщего с основанием ребра (a) и апофема (h), рассчитайте половину от произведения этих 2-х величин: S? = a*h/2. При указанных в условиях длинах бокового ребра (b) и ребра основания (a) обнаружьте половину произведения длины основания на корень из разницы между возведенной в квадрат длиной бокового ребра и четвертью квадрата длины основания: S? = ?*a*?(b?-a?/4). Если помимо длины всеобщего с основанием ребра (a) дан плоский угол в вершине пирамиды (?), вычислите отношение возведенной в квадрат длины ребра к удвоенному косинусу половины плоского угла: S? = a?/(2*cos(?/2)).

3. Рассчитав площадь одной боковой грани (S?), увеличьте полученную величину в четыре раза, дабы вычислить площадь боковой поверхности положительной четырехугольной пирамиды. При знаменитой апофеме (h) и периметре основания (P) это действие совместно со каждому предыдущим шагом дозволено заменить вычислением половины произведения этих 2-х параметров: 4*S? = ?*h*P. В любом случае, полученную площадь боковой поверхности сложите с рассчитанной на первом шаге площадью квадратного основания фигуры – это и будет полная площадь поверхности пирамиды: S = S?+4*S?.

Совет 15: Как обнаружить площадь сечения куба

Вопрос относится к аналитической геометрии. Он решается с привлечением уравнений пространственных прямых и плоскостей, представления куба и его геометрических свойств, а также с применением векторной алгебры. Могут потребоваться методы рения систем линейных уравнений.

Инструкция

1. Выберите данные задачи так, дабы они были исчерпывающими, но не избыточными. Секущую плоскость ? следует задать всеобщим уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, что наилучшим образом согласуется с произвольным его выбором. Для задания куба абсолютно хватит координат всяких 3 его вершин. Возьмите, скажем, точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3), в соответствии с рисунком 1. На этом рисунке проиллюстрировано сечение куба. Оно пересекает два боковых ребра и три ребра оснований.

Как обнаружить площадь сечения куба

2. Определитесь с планом последующей работы. Предстоит искать координаты точек Q, L, N, W, R пересечения сечения с соответствующими ребрами куба. Для этого придется находить уравнения прямых, содержащих эти ребра, и искать точки пересечения ребер с плоскостью ?. Позже этого последует разбиение пятиугольника QLNWR на треугольники (см. рис. 2) и вычисление пощади всякого из них с поддержкой свойств векторного произведения. Методология всякий раз одна и та же. Следственно дозволено ограничиться точками Q и L и площадью треугольника ?QLN.

Как обнаружить площадь сечения куба

3. Направляющий вектор h прямой, содержащий ребро М1М5 (и точку Q), обнаружьте как векторное произведение M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1} и M2M3={x3-x2, y3-y2, z3-z2}, h={m1, n1, p1}=[M1M2? M2M3]. Полученный вектор является направляющим и для всех прочих боковых ребер. Длину ребра куба обнаружьте как, скажем, ?=?( (x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2). Если модуль вектора h |h|??, то замените его соответствующим коллинеарным вектором s={m, n, p}=(h/|h|)?. Сейчас запишите уравнение прямой, содержащей М1М5 параметрически (см. рис. 3). Позже подстановки соответствующих выражений в уравнение секущей плоскости получите А(x1+mt)+B(y1+nt)+C(z1+pt)+D=0. Определите t, подставьте в уравнения для М1М5 и запишите координаты точки Q(qx, qy, qz) (рис. 3).

Как обнаружить площадь сечения куба

4. Видимо, что точка М5 имеет координаты М5(x1+m, y1+n, z1+p). Направляющий вектор для прямой, содержащей ребро М5М8 совпадает с М2М3={x3-x2, y3-y2,z3-z2}. После этого повторите предыдущие рассуждения касательно точки L(lx, ly, lz) (см. рис. 4). Все последующее, для N(nx, ny, nz) – точная копия это шага.

Как обнаружить площадь сечения куба

5. Запишите векторы QL={lx-qx, ly-qy, lz-qz} и QN={nx-qx, ny-qy, nz-qz}. Геометрический толк их векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах. Следственно площадь ?QLN S1=(1/2)|[QL? QN]|. Следуйте предложенной методике и вычислите площади треугольников ?QNW и ?QWR – S1 и S2. Векторное произведение комфортнее каждого находить с подмогой вектора-определителя (см. рис. 5). Запишите окончательный результат S=S1+S2+S3.

Как обнаружить площадь сечения куба

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий