Как обнаружить минимальный всеобщий знаменатель
Знаменателем арифметической дроби a / b называют число b, показывающее размеры долей единицы, из которых составлена дробь. Знаменателем алгебраической дроби A / B называют алгебраическое выражение B. Для выполнения арифметических действий с дробями их нужно привести к наименьшему всеобщему знаменателю.
Вам понадобится
- Для работы с алгебраическими дробями при нахождении наименьшего всеобщего знаменателя нужно знать способы разложения многочленов на множители.
Инструкция
1. Разглядим приведение к наименьшему всеобщему знаменателю 2-х арифметических дробей n/m и s/t, где n, m, s, t – целые числа. Ясно, что эти две дроби дозволено привести к любому знаменателю, делящемуся на m и на t. Но обыкновенно усердствуют привести к наименьшему всеобщему знаменателю. Он равен наименьшему всеобщему кратному знаменателей m и t данных дробей. Наименьшее всеобщее кратное (НОК) чисел – это наименьшее позитивное число, делящееся единовременно на все заданные числа. Т.е. в нашем случае нужно обнаружить наименьшее всеобщее кратное чисел m и t. Обозначается как НОК (m, t). Дальше дроби умножаются на соответствующие множители: (n/m) * (НОК (m, t) / m), (s/t) * (НОК (m, t) / t).
2. Приведем пример нахождения наименьшего всеобщего знаменателя 3 дробей: 4/5, 7/8, 11/14. Для начала разложим знаменатели 5, 8, 14 на множители: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Дальше вычисляем НОК (5, 8, 14), перемножая все числа, входящие правда бы в одно из разложений. НОК (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Подметим, что если множитель встречается в разложении нескольких чисел (множитель 2 в разложении знаменателей 8 и 14), то берем множитель в большей степени (2^3 в нашем случае).Выходит, минимальный всеобщий знаменатель дробей получен. Он равен 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Тут мы получаем числа, на которые нужно умножить дроби с соответствующими знаменателями, дабы привести их к наименьшему всеобщему знаменателю. Получаем 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
3. Приведение к наименьшему всеобщему знаменателю алгебраических дробей выполняется по аналогии с арифметическими дробями. Для наглядности разглядим задачу на примере. Пускай даны две дроби (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) и (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Разложим на множители оба знаменателя. Подметим, что знаменатель первой дроби представляет собой полный квадрат: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Для разложения второго знаменателя на множители нужно применить способ группировки: 3 * y^2 + 4 * y + 1 = (3 * y + 1) * y + 3 * y + 1 = (3 * y + 1) * (y + 1).Таким образом минимальный всеобщий знаменатель равен (y + 1) * (3 * y + 1)^2. Умножаем первую дробь на многочлен y + 1, а вторую дробь на многочлен 3 * y + 1. Получаем дроби, приведенные к наименьшему всеобщему знаменателю:2 * x * (y + 1) / (y + 1) * (3 * y + 1)^2 и (x^2 + 1) * (3 * y + 1) / (y + 1) * (3 * y + 1)^2.
Полезный совет
Позже разложения чисел либо многочленов на множители исполните проверку – посчитайте произведение всех множителей и удостоверитесь, что получились изначальные значения.
