Как обнаружить скептические точки функции
При построении графика функции нужно определить точки максимума и минимума, интервалы монотонности функции. Дабы ответить на эти вопросы первым делом надобно обнаружить скептические точки, то есть такие точки области определения функции, в которых производная не существует либо равна нулю.
Вам понадобится
- Умение находить производную функции.
Инструкция
1. Обнаружьте область определения D(x) функции y=ƒ(x), потому что все изыскания функции проводятся в том промежутке, где функция имеет толк. Если вы исследуете функцию на некотором интервале (a; b), то проверьте, дабы данный промежуток принадлежал области определения D(x) функции ƒ(x). Проверьте функцию ƒ(x) на непрерывность в этом интервале (a; b). То есть lim(ƒ(x)) при x тяготящимся к всякой точке x0 из промежутка (a; b) должен быть равен ƒ(x0). Также функция ƒ(x) должна быть дифференцируема на этом промежутке за исключением допустимо финального числа точек.
2. Вычислите первую производную ƒ'(x) функции ƒ(x). Для этого воспользуйтесь особой таблицей производных элементарных функций и правилами дифференцирования.
3. Обнаружьте область определения производной ƒ'(x). Выпишите все точки, которые не попали в область определения функции ƒ'(x). Отберите из этого множества точек только те значения, которые принадлежат области определения D(x) функции ƒ(x). Это и будут скептические точки функции ƒ(x).
4. Разыщите все решения уравнения ƒ'(x)=0. Выберите из этих решений только те значения, которые попадают в область определения D(x) функции ƒ(x). Эти точки так же будут являться скептическими точками функции ƒ(x).
5. Разглядите пример. Пускай дана функция ƒ(x)=2/3×x^3−2×x^2−1. Область определения этой функции каждая числовая прямая. Обнаружьте первую производную ƒ'(x)=(2/3×x^3−2×x^2−1)’=(2/3×x^3)’−(2×x^2)’=2×x^2−4×x. Производная ƒ'(x) определена при любом значении x. Тогда решите уравнение ƒ'(x)=0. В данном случае 2×x^2−4×x=2×x×(x−2)=0. Этому уравнению равносильна система из 2-х уравнений: 2×x=0, то есть x=0, и x−2=0, то есть x=2. Эти два решения принадлежат области определения функции ƒ(x). Таким образом, у функции ƒ(x)=2/3×x^3−2×x^2−1 существует две скептические точки x=0 и x=2.
Обратите внимание!
Знак ^ обозначает возведение в степень, знак ‘ – взятие производной.
