Совет 1: Как обнаружить катет прямоугольного треугольника, если вестима гипотенуза

Треугольник – это часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых, называемых сторонами треугольника, имеющими попарно по одному всеобщему концу, называемых вершинами треугольника. Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник именуется прямоугольным.

Инструкция

1. Стороны прямоугольного треугольника, прилегающие к прямому углу (AB и BC), именуются катетами. Сторона, лежащая наоборот прямого угла, именуется гипотенузой (AC).Пускай нам вестима гипотенуза AC прямоугольного треугольника ABC: |AC| = c. Обозначим угол с вершиной в точке A как ??, угол с вершиной в точке B как ??. Нам нужно обнаружить длины |AB| и |BC| катетов.

2. Пускай знаменит один из катетов прямоугольного треугольника. Представим |BC| = b. Тогда мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2. Из данного уравнения находим неведомый катет |AB| = a = ? (c^2 – b^2).

3. Пускай вестим один из углов прямоугольного треугольника, представим ??. Тогда катеты AB и BC прямоугольного треугольника ABC дозволено обнаружить, применяя тригонометрические функции. Так получаем: синус ?? равен отношению противолежащего катета к гипотенузе sin ? = b / c, косинус ?? равен отношению прилежащего катета к гипотенузе cos ? = a / c. Отсель находим требуемые длины сторон: |AB| = a = с * cos ?, |BC| = b = c * sin ?.

4. Пускай знаменито соотношение катетов k = a / b. Также решаем задачу с применением тригонометрических функций. Отношение a / b есть ни что иное, как котангенс ??: отношение прилежащего катета к противолежащему ctg ? = a / b. В этом случае из данного равенства выражаем a = b * ctg ?. И подставляем в теорему Пифагора a^2 + b^2 = c^2:b^2 * ctg^2 ? + b^2 = c^2. Переносим b^2 за скобки, получаем b^2 * (ctg^2 ? + 1) = c^2. И отсель легко получаем длину катета b = c / ?(ctg^2 ? + 1) = c / ?(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.По аналогии, если знаменито соотношение катетов b / a, решаем задачу с использованием тригонометрической функции тангенс tg ? = b / a. Подставляем значение b = a * tg ? в теорему Пифагора a^2 * tg^2 ? + a^2 = c^2. Отсель a = c / ?(tg^2 ? + 1) = c / ?(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.

5. Разглядим частные случаи.?? = 30°. Тогда |AB| = a = c * cos ? = c * ?3 / 2; |BC| = b = c * sin ? = c / 2.?? = 45°. Тогда |AB| = |BC| = a = b = c * ?2 / 2.

Совет 2: Как обнаружить стороны прямоугольного треугольника

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника рассматриваются в разделе математики, тот, что именуется тригонометрией. Для нахождения сторон прямоугольного треугольника довольно знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, и иметь какое-нибудь средство для нахождения значений тригонометрических функций, скажем, калькулятор либо таблицы Брадиса. Разглядим ниже основные случаи задач нахождения сторон прямоугольного треугольника.



Вам понадобится

• Калькулятор, таблицы Брадиса.

Инструкция

1. Примем следующие обозначения:с – длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу);a, b – длины катетов (сторон, прилежащих к прямому углу);A – угол, противолежащий катету a;В – угол, противолежащий катету b.

2. В случае, когда вам знамениты гипотенуза с и один из катетов (скажем, катет а), 2-й катет дозволено вычислить из теоремы Пифагора: b=sqrt(с^2-а^2). Тут и дальше «sqrt» – операция извлечения квадратного корня, «^2» – операция возведения в квадрат.

3. Если знамениты оба катета, гипотенуза находится также из теоремы Пифагора: с=sqrt(а^2+b^2).

4. Если вам задан один из острых углов, скажем, A, и гипотенуза, то катеты дозволено обнаружить из определений основных тригонометрических функций:a= c*sin(A), b= c*cos(A).

5. Если задан один из острых углов, скажем, A, и один из катетов, скажем, a, то гипотенуза и иной катет вычисляются из соотношений: b=a*tg(A), c=a*sin(A).

Полезный совет
В том случае, если вам не знаменито значение синуса либо косинуса какого-то из нужных для расчёта углов, вы можете воспользоваться таблицами Брадиса, в них приводятся значения тригонометрических функций для большого числа углов. Помимо того, множество современных калькуляторов способны рассчитывать синусы и косинусы углов.

Совет 3: Как обнаружить угол, если вестимы стороны прямоугольного треугольника

Треугольник , один из углов которого является прямым (равен 90°), называют прямоугольным. Его самая длинная сторона неизменно лежит наоборот прямого угла и именуется гипотенузой, а две другие стороны называют катетами. Если длины этих 3 сторон вестимы, то обнаружить величины всех углов треугольник а не составит труда, потому что реально понадобится вычислить каждого один из углов. Сделать это дозволено несколькими методами.

Инструкция

1. Используйте для вычисления величин углов (α, β, γ) определения тригонометрических функций через прямоугольный треугольник . Такое определение, скажем, для синуса острого угла формулируется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит, если вестимы длины катетов (A и B) и гипотенузы (C), то обнаружить, скажем, синус угла α, лежащего наоборот катета A дозволено, поделив длину стороны А на длину стороны C (гипотенузы): sin(α)=A/C. Узнав значение синуса этого угла дозволено обнаружить его величину в градусах, использовав обратную синусу функцию – арксинус. То есть α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же методом дозволено обнаружить и величину иного острого угла в треугольник е, но в этом нет необходимости. Потому что сумма всех углов треугольник а неизменно составляет 180°, а в прямоугольном треугольник е один из углов равен 90°, то величину третьего угла дозволено посчитать как разность между 90° и величиной обнаруженного угла: β=180°-90°-α=90°-α.

2. Взамен определения синуса дозволено применять определение косинуса острого угла, которое формулируется как отношение длины прилежащего к желанному углу катета к длине гипотенузы: cos(α)=B/C. И тут задействуйте обратную тригонометрическую функцию (арккосинус), дабы обнаружить величину угла в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Позже этого, как и в предыдущем шаге, останется обнаружить величину недостающего угла: β=90°-α.

3. Дозволено воспользоваться аналогичным определением тангенса – он выражается соотношением длины противолежащего желанному углу катета к длине катета прилежащего: tg(α)=A/B. Величину угла в градусах вновь определяйте через обратную тригонометрическую функцию – арктангенс: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величины недостающего угла останется без изменений: β=90°-α.

Видео по теме

Совет 4: Как обнаружить длину стороны прямоугольного треугольника

Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника , расположенная наоборот прямого угла, именуется гипотенузой, а две другие стороны – катетами. Дабы обнаружить длины сторон прямоугольного треугольника , дозволено воспользоваться несколькими методами.

Инструкция

1. Дозволено узнать размер третьей стороны , зная длины 2-х других сторон треугольника . Это дозволено исполнить с поддержкой теоремы Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. (a? = b?+ c?). Отсель дозволено выразить длины всех сторон прямоугольного треугольника :b? = a? – c?;c? = a? – b?К примеру, у прямоугольного треугольника знаменита длина гипотенузы a (18 см) и одного из катетов, скажем c (14 см). Дабы обнаружить длину иного катета, требуется совершить 2 алгебраических действия:с? = 18? – 14? = 324 – 196 = 128 смc = ?128 смОтвет: длина второго катета составляет ?128 см либо, примерно, 11.3 см

2. Дозволено прибегнуть к иному методу, если знамениты длина гипотенузы и величина одного из острых углов данного прямоугольного треугольника . Пускай длина гипотенузы равна c, один из острых углов равен ?. В таком случае, обнаружить 2 другие стороны прямоугольного треугольника дозволено будет при помощи следующих формул:a = с*sin?;b = с*cos?.Дозволено привести пример: длина гипотенузы равна 15 см, один из острых углов равен 30 градусам. Для нахождения длин 2-х других сторон надобно исполнить 2 действия:a = 15*sin30 = 15*0.5 = 7.5 смb = 15*cos30 = (15*?3)/2 = 13 см (примерно)

3. Самый нетривиальный метод обнаружить длину стороны прямоугольного треугольника – это выразить ее из периметра данной фигуры:P = a + b + c, где P – периметр прямоугольного треугольника . Из этого выражения легко выразить длину всякий из сторон прямоугольного треугольника .

Совет 5: Как обнаружить угол прямоугольного треугольника, зная все стороны

Познания всех 3 сторон в прямоугольном треугольнике больше чем довольно для вычисления всякого из его углов. Этой информации настоль много, что у вас даже возникает вероятность предпочесть, которые из сторон задействовать в расчетах, дабы применять особенно вам привлекательную тригонометрическую функцию.

Инструкция

1. Если вы выберете иметь дело с арксинусом, используйте в расчете длину гипотенузы (С) – самой длинной стороны – и того катета (А), тот, что лежит наоборот желанного угла (?). Деление длины этого катета на длину гипотенузы даст величину синуса желанного угла, а обратная синусу функция – арксинус – из полученного значения восстановит величину угла в градусах. Следственно используйте в вычислениях такую формулу: ? = arcsin(A/C).

2. Для замены арксинуса арккосинусом задействуйте в вычислениях длины тех сторон, которые и образуют желанный угол (?). Одна из них будет гипотенузой (С), а иная – катетом (В). По определению косинус – это отношение длины прилегающего к углу катета к длине гипотенузы, а поправлением угла из значения косинуса занимается функция арккосинус. Используйте такую формулу расчетов: ? = arccos(B/C).

3. Дозволено применять в расчетах и арктангенс. Для этого вам необходимы длины 2-х коротких сторон – катетов. Тангенс острого угла (?) в прямоугольном треугольнике определяется отношением длины катета (А), лежащего наоборот него, к длине прилежащего катета (В). По аналогии с описанными выше вариантами используйте такую формулу: ? = arctg(А/B).

4. Эти же стороны – катеты А и В – необходимы и при применении арккотангенса в формуле вычисления острого угла (?) прямоугольного треугольника. Для приобретения значения котангенса довольно поменять местами делимое и делитель в определении тангенса, следственно используйте такую формулу: ? = arcctg(В/А).

5. Если есть желание применять еще больше экзотические тригонометрические функции, обратите внимание, скажем, на арксеканс. Вам потребуется та же пара сторон, что и во втором шаге – прилегающий к желанному углу (?) катет (В) и гипотенуза (С). Но делимое и делитель нужно поменять местами, следственно формула в окончательном виде будет иметь такой вид: ? = arcsec(С/В).

6. Пару секансу составляет функция косеканс, определяемая отношением длины гипотенузы (С) к противолежащему желанному углу (?) катету (А). Дабы задействовать в расчетах арккосеканс используйте такую формулу: ? = arccsc(С/А).

Совет 6: Как именуются стороны прямоугольного треугольника

Восхитительными свойствами прямоугольных треугольников люди заинтересовались еще во времена древности. Многие из этих свойств были описаны древнегреческим ученым Пифагором. В Старинной Греции возникли и наименования сторон прямоугольного треугольника.

Какой треугольник называют прямоугольным?

Есть несколько типов треугольников. У одних все углы острые, у других – один тупой и два острых, у третьих – два острых и прямой. По этому знаку весь тип этих геометрических фигур и получил наименование: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. То есть, прямоугольным именуется такой треугольник, у которого один из углов составляет 90°. Есть и другое определение, аналогичное с первым. Прямоугольным именуется треугольник, у которого две стороны перпендикулярны.

Гипотенуза и катеты

У остроугольного и тупоугольного треугольников отрезки, соединяющие вершины углов, именуются легко сторонами. У треугольника прямоугольного стороны имеют и другие наименования. Те, которые прилегают к прямому углу, именуются катетами. Сторона, противолежащая прямому углу, именуется гипотенузой. В переводе с греческого слово «гипотенуза» обозначает «натянутая», а «катет» – «перпендикуляр».

Соотношения между гипотенузой и катетами

Стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые гораздо облегчают вычисления. Скажем, зная размеры катетов, дозволено вычислить длину гипотенузы. Это соотношение по имени открывшего его математика получило наименование теоремы Пифагора и выглядит оно так:c2=a2+b2, где с – гипотенуза, a и b – катеты. То есть, гипотенуза будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Дабы обнаружить всякий из катетов, довольно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат иного катета и извлечь из полученной разности квадратный корень.

Прилежащий и противолежащий катет

Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Буквой С принято обозначать вершину прямого угла, А и В – вершины острых углов. Стороны, противолежащие всякому углу, комфортно назвать а, b и с, по наименованиям лежащих наоборот них углов. Разглядите угол А. Катет а для него будет противолежащим, катет b – прилежащим. Отношение противолежащего катета к гипотенузе именуется синусом. Вычислить эту тригонометрическую функцию дозволено по формуле: sinA=a/c. Отношение прилежащего катета к гипотенузе именуется косинусом. Вычисляется он по формуле: cosA=b/c. Таким образом, зная угол и одну из сторон, дозволено по этим формулам вычислить иную сторону. Тригонометрическими соотношениями связаны и оба катета. Отношение противолежащего к прилежащему именуется тангенсом, а прилежащего к противолежащему – котангенсом. Выразить эти соотношения дозволено формулами tgA=a/b либо ctgA=b/a.

Видео по теме


Обратите внимание!
Квадратные корни извлекаются с позитивным знаком, т.к. длина не может быть негативной величиной. Это кажется явственным, но данная оплошность дюже распространена, если решать задачу на автомате.

Полезный совет
Для нахождения катетов прямоугольного треугольника комфортно применять формулы приведения: sin ? = sin (90° – ?) = cos ?; cos ? = cos (90° – ?) = sin ?.