Совет 1: Как обнаружить длины рёбер параллелепипеда по диагонали

Параллелепипед – многогранная геометрическая фигура, владеющая несколькими увлекательными свойствами. Познание этих свойств помогает в решении задач. Существует, скажем, определенная связь между его линейными и диагональными измерениями, по средствам которой дозволено обнаружить длины ребер параллелепипеда по диагонали.

Инструкция

1. Параллелепипед имеет одну специфика, не присущную иным фигурам. Его грани попарно параллельны и имеют равные измерения и числовые колляции, такие как площадь и периметр. Всякую пару таких граней дозволено принять за основания, тогда оставшиеся будут составлять его боковую поверхность.

2. Дозволено обнаружить длины рёбер параллелепипеда по диагонали, впрочем одной этой величины немного. Во-первых, обратите внимание на то, какая разновидность этой пространственной фигуры вам дана. Это может быть положительный параллелепипед, владеющий прямыми углами и равными измерениями, т.е. куб. В этом случае будет довольно знать длину одной диагонали. Во всех остальных случаях должен быть, как минимум, еще один вестимый параметр.

3. Диагонали и длины сторон в параллелепипеде связаны определенным соотношением. Эта формула вытекает из теоремы косинусов и представляет собой равенство суммы квадратов диагоналей и суммы квадратов ребер:d1? + d2? + d3? + d4? = 4•а? + 4•b? + 4•c?, где а – длина, b – ширина и c – высота.

4. Для куба формула упрощается:4•d? = 12•а? а = d/?3.

5. Пример: обнаружить длину стороны куба, если его диагональ равна 5 см.Решение.25 = 3•а?а = 5/?3.

6. Разглядим прямой параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основаниям, а сами основания являются параллелограммами. Его диагонали попарно равны и связаны с длинами ребер по дальнейшему тезису:d1? = а? + b? + c? + 2•а•b•cos ?;d2? = а? + b? +c? – 2•а•b•cos ?, где ? – острый угол между сторонами основания.

7. Этой формулой дозволено воспользоваться, если знамениты, к примеру, одна из сторон и угол либо эти величины могут быть обнаружены по иным условиям задачи. Решение упрощается, когда все углы в основании прямые, тогда:d1? + d2? = 2•а? + 2•b? + 2•c?.

8. Пример: обнаружьте ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, если ширина b огромнее длины а на 1 см, высота c – в 2 раза огромнее, а диагональ d – в 3.Решение.Запишите основную формулу квадрата диагонали (в прямоугольном параллелепипеде они равны):d? = а? + b? + c?.

9. Выразите все измерения через заданную длину а:b = а + 1;c = а•2;d = а•3.Подставьте в формулу:9•а? = а? + (а + 1)? + 4•а?

10. Решите квадратное уравнение:3•а? – 2•а – 1 = 0Найдите длины всех ребер:а = 1; b = 2; c = 2.

Совет 2: Как обнаружить диагонали параллелепипеда

Параллелепипед – частный случай призмы, у которой все шесть граней являются параллелограммами либо прямоугольниками. Параллелепипед с прямоугольными гранями называют также прямоугольным. У параллелепипеда имеется четыре пересекающиеся диагонали. Если даны три ребра а, b, с, обнаружить все диагонали прямоугольного параллелепипеда дозволено, исполняя добавочные построения.

Инструкция

1. Нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Запишите вестимые данные: три ребра а, b, с. Сначала постройте одну диагональ m. Для ее определения используем качество прямоугольного параллелепипеда, согласно которому все его углы являются прямыми.



2. Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда. Построение проведите так, дабы вестимое ребро, желанная диагональ параллелепипеда и диагональ грани совместно образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.



3. Обнаружьте построенную диагональ грани. Она является гипотенузой иного прямоугольного треугольника b, с, n. Согласно теореме Пифагора n² = с² + b². Вычислите данное выражение и возьмите корень квадратный из полученного значения – это будет диагональ грани n.

4. Обнаружьте диагональ параллелепипеда m. Для этого в прямоугольном треугольнике а, n, m обнаружьте незнакомую гипотенузу: m² = n² + a². Подставьте вестимые значения, после этого вычислите корень квадратный. Полученный итог и будет первой диагональю параллелепипеда m.

5. Аналогичным образом проведите ступенчато все остальные три диагонали параллелепипеда. Также для всей из них исполните добавочные построения диагоналей прилегающих граней. Рассматривая образуемые прямоугольные треугольники и применяя теорему Пифагора, обнаружьте значения остальных диагоналей прямоугольного параллелепипеда.



Видео по теме

Совет 3: Как обнаружить стороны, если вестимы диагональ и периметр

Если в условиях задачи указан периметр прямоугольника, длина его диагонали, и требуется обнаружить длину сторон прямоугольника, используйте свои умения о методах решения квадратных уравнений и свойствах прямоугольных треугольников.

Инструкция

1. Обозначьте для комфорта стороны прямоугольника, которые нужно обнаружить в задаче, скажем, a и b. Диагональ прямоугольника назовите с, а периметр Р.

2. Составьте уравнение для нахождения периметра прямоугольника, он равен сумме его сторон. У вас получится:a+b+a+b=Р либо 2*а+2*b=Р.

3. Обратите внимание на тот факт, что диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Сейчас припомните, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть:а^2+b^2=с^2.

4. Выпишите рядом полученные уравнения, вы увидите, что получилась система из 2-х уравнений с двумя незнакомыми а и b. Подставьте значения, данные в задаче для величины периметра и диагонали. Представим, что в условиях задачи значение периметра составляет 14, а гипотенуза 5. Таким образом, система уравнений выглядит дальнейшим образом:2*а+2*b=14а^2+b^2=5^2 либо а^2+b^2=25

5. Решите систему уравнений. Для этого в первом уравнении перенесите b со множителем в правую часть и поделите обе части уравнения на множитель а, то есть на 2. Вы получите:а=7-b

6. Подставьте значение а во второе уравнение. Положительно раскройте скобки, помните о том, как возводить в квадрат слагаемые в скобках. Вы получите:(7-b)^2+b^2=257^2-7*2*b+ b^2+b^2=2549-14*b+2*b^2=252*b^2-14*b+24=0

7. Припомните свои познания о дискриминанте, в этом уравнении он равен 4, то есть огромнее 0, соответственно, данное уравнение имеет 2 решения. Вычислите корни уравнения с подмогой дискриминанта, вы получите, что сторона прямоугольника b равна либо 3, либо 4.

8. Подставьте поочередно полученные значения стороны b в уравнение для а (глядите шаг 5), а=7-b. Вы получите, что при b равном 3, а равно 4. И напротив, при b равном 4, а равно 3. Обратите внимание, что решения симметричны, следственно результат задачи таков: одна из сторон равна 4, а вторая 3.

Видео по теме

Совет 4: Как обнаружить угол между ребром и гранью

Раньше чем искать решение поставленной задачи, следует определить с ребром и гранью какой фигуры вы имеете дело. Обыкновенно речь идет о каком-нибудь многограннике. Любая сторона многогранника – многоугольник, весь из которых неизменно дозволено разбить на треугольники. В всеобщем случае будет довольно рассмотрения тетраэдра. При этом безусловно не значимо какой треугольник находится в основании и каково определенное расположение заданного ребра. Следственно решение задачи сводится к поиску угла между прямой и плоскостью, содержащей данную грань.



Вам понадобится

• – бумага;
• – ручка;
• – линейка.

Инструкция

1. На рисунке 1 наглядно проиллюстрировано, что нужно искать угол между прямой ребра s и ее проекцией ф2. Впрочем для этого пришлось бы искать еще и прямую, содержащую эту проекцию. Но задачу дозволено немножко упростить – обнаружить угол ф1 между нормалью к плоскости грани и направляющим вектором прямой ребра s. Тогда становится видимо, что ф2 =п/2 – ф1, то есть cosф1=sinф2.

2. Для численного решения задачи нужно вычислить скалярное произведение векторов (a, b) ((a, b) = |a||b|cosф). В декартовых координатах если а={x1, y1, z1} и b={x2, y2, z2}, то (a, b) = x1x2 +y1y2+z1z2. При этом скалярный квадрат вектора (а,а)=|a|^2=x1^2 +y1^2+z1^2. Для вектора b – подобно. Следственно |a||b|cos ф = x1х2+у1y2+z1z2. Следственно, cosф=( x1x2 +y1y2+z1z2)/(|a||b|).

3. Пример. Пускай расположение ребра описывается каноническими уравнениями прямой s: (x-x0)/m = (y-y0)/n = (z-z0)/p, (x0, y0, z0) знаменитая точка прямой (скажем одна из вершин ребра), вектор s={m, n, p} – направляющий вектор s. Пускай плоскость грани б задана всеобщим уравнением плоскости Ax+Вy+Cz+D=0. Тогда ее нормаль n={A, B, C}.Для приобретения однозначного решения задачи будет довольно задать векторы n и s. Дальше обнаружьте cosф1=(mA+nB+pC)/[(m^2+n^2+p^2)( A^2 +B^2+C^2)]^(1/2). Рассматривая указанное выше соотношение, cosф1=sinф2 , результат дозволено записать в виде арксинуса: ф2=arcsin(cosф1).

4. Если s={3, 2,-1}, n={2, 0,1} , то косинус угла меду ними cosф1=(6-1)/[(9+4+1)(5+1)]^(1/2)] = 5/[(14)6)]^(1/2) =5/2(21)^(1/2) =11,45. Результат: ф2=arcsin(11,45).

Видео по теме

Совет 5: Как обнаружить длину диагоналей параллелепипеда

Параллелепипедом именуется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, именуются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда.

Инструкция

1. У параллелепипеда дозволено возвести четыре пересекающиеся диагонали. Если знамениты данные 3 ребер а, b и с, обнаружить длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда не составит труда, исполняя добавочные построения.

2. Вначале нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Подпишите все вестимые вам данные, их должно быть три: ребра а, b и с. Начертите первую диагональ m. Для ее построения воспользуйтесь свойством прямоугольных параллелепипедов, согласно которому все углы сходственных фигур являются прямыми.

3. Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда . Построение сделайте таким образом, дабы знаменитое ребро (а), незнакомая диагональ параллелепипеда и диагональ прилегающей грани (n) образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.

4. Посмотрите на построенную диагональ грани (n). Она является гипотенузой иного прямоугольного треугольника b, с, n. Следуя теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (n? = с? + b?), обнаружьте квадрат гипотенузы, после этого извлеките корень квадратный из полученного значения – это и будет длина диагонали грани n.

5. Обнаружьте диагональ самого параллелепипеда m. Для того, дабы обнаружить ее значение, в прямоугольном треугольнике а, n, m вычислите по той же формуле гипотенузу: m? = n? + a?. Вычислите корень квадратный. Обнаруженный итог будет первой диагональю вашего параллелепипеда . Диагональ m.

6. Верно так же проведите ступенчато все остальные диагонали параллелепипеда , для всякой из которых исполняйте добавочные построения диагоналей прилегающих граней. Применяя теорему Пифагора, обнаружьте значения остальных диагоналей данного параллелепипеда .

7. Есть еще один метод, с поддержкой которого дозволено обнаружить длину диагонали. Согласно одному из свойств параллелограмма, квадрат диагонали равен сумме квадратов 3 его сторон. Из этого следует, что длину дозволено обнаружить сложив квадраты сторон параллелепипеда и из получившегося значения извлечь квадрат.

Полезный совет
Свойства параллелепипеда:- параллелепипед симметричен касательно середины его диагонали;- всякий отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею напополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею напополам;- противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;- квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Совет 6: Как обнаружить рёбра основания тетраэдра

Четверка – «тетра» – в наименовании объемной геометрической фигуры указывает на число образующих ее граней. А число граней верного тетраэдра , в свою очередь, однозначно определяет конфигурацию всякой из них – четыре поверхности могут составить объемную фигуру, только имея форму верного треугольника. Вычисление длин ребер составленной из верных треугольников фигуры специальной трудности не представляет.

Инструкция

1. В фигуре, составленной из безусловно идентичных граней, основанием дозволено считать всякое из них, следственно задача сводится к вычислению длины произвольно выбранного ребра. Если вам знаменита полная площадь поверхности тетраэдра (S), для вычисления длины ребра (a) извлеките из нее квадратный корень и поделите полученный итог на кубический корень из тройки: a = ?S/??3.

2. Площадь одной грани (s), видимо, должна быть вчетверо поменьше полной площади поверхности. Следственно для расчета длины грани по этому параметру трансформируйте формулу из предыдущего шага к такому виду: a = 2*?s/??3.

3. Если в условиях дана только высота (H) тетраэдра , для нахождения длины стороны (а), составляющей всякую грань, утройте это исключительное знаменитое значение, а после этого поделите на квадратный корень из шестерки: a = 3*H/?6.

4. При вестимом из условий задачи объеме (V) тетраэдра для вычисления длины ребра (a) придется извлекать кубический корень из этой величины, увеличенной в двенадцать раз. Рассчитав эту величину, поделите ее еще и на корень четвертой степени из двойки: a = ??(12*V)/??2.

5. Зная диаметр описанной около тетраэдра сферы (D) тоже дозволено обнаружить длину ее ребра (a). Дабы это сделать, увеличьте диаметр вдвое, а после этого поделите на квадратный корень из шестерки: a = 2*D/?6.

6. По диаметру вписанной в эту фигуру сферы (d) длина ребра определяется примерно так же, разница лишь в том, что диаметр нужно увеличивать не вдвое, а в целых шесть раз: a = 6*d/?6.

7. Радиус окружности (r), вписанной в всякую грань этой фигуры, тоже дозволяет вычислить необходимую величину – умножьте его на шестерку и поделите на квадратный корень из тройки: a = r*6/?3.

8. Если в условиях задачи дана суммарная длина всех ребер положительного тетраэдра (P), для нахождения длины всего из них легко поделите это число на шесть – именно столько ребер имеет эта объемная фигура: a = P/6.

Совет 7: Как обнаружить длину диагонали параллелограмма

Итогом соединения в четырехугольнике противоположных друг другу вершин является построение его диагоналей. Существует всеобщая формула, объединяющая длины этих отрезков с другими измерениями фигуры. По ней, в частности, дозволено обнаружить длину диагонали параллелограмма.

Инструкция

1. Постройте параллелограмм, предпочтя при необходимости масштаб так, дабы все знаменитые измерения максимально соответствовали исходным данным. Отменное осознавание условий задачи и построение наглядного графика – залог быстроты решения. Помните, что в этой фигуре стороны попарно параллельны и равны.

2. Проведите обе диагонали , объединив противоположные вершины. Эти отрезки владеют несколькими свойствами: они пересекаются в середине своих длин, а всякий из них делит фигуру на два симметрично идентичных треугольника. Длины диагоналей параллелограмма связаны формулой суммы квадратов:d1? + d2? = 2•(а? + b?), где а и b – длина и ширина.

3. Видимо, что знать только длины основных измерений параллелограмма неудовлетворительно для того, дабы вычислить правда бы одну диагональ. Разглядим задачу, в которой заданы стороны фигуры: а = 5 и b = 9. Также вестимо, что одна из диагоналей огромнее иной в 2 раза.

4. Составьте два уравнения с двумя незнакомыми:d1 = 2•d2d1? + d2? = 2•(а? + b?) = 212.

5. Подставьте d1 из первого уравнения во второе:5•d2? = 212 ? d2 ? 6,5;Обнаружьте длину первой диагонали :d1 = 13.

6. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Диагонали первых 2-х фигур представляют собой равные отрезки, следственно, формулу дозволено переписать в больше простом виде:2•d? = 2•(а? + b?) ? d = ?(а? + b?), где а и b – длина и ширина прямоугольника;2•d? = 2•2•а? ? d = ?2•а?, где а – сторона квадрата.

7. Длины диагоналей ромба – не равные величины, впрочем равны его стороны. Исходя из этого, формулу тоже дозволено упростить:d1? + d2? = 4•а?.

8. Эти три формулы дозволено вывести также из отдельного рассмотрения треугольников, на которые фигуры делятся диагоналями. Они прямоугольные, значит, дозволено применить теорему Пифагора. Диагонали – это гипотенузы, катеты – стороны четырехугольников.

Видео по теме