Как обнаружить довод комплексного числа
Комплексным числом называют число вида z =x + i * y, где x и y – действительные числа , а i = мнимая единица (т.е. число, квадрат которого равен -1). Дабы определить представление аргумента комплексного числа , нужно разглядеть комплексное число на комплексной плоскости в полярной системе координат.
Инструкция
1. Плоскость, на которой представляют комплексные числа , именуется комплексной. На этой плоскости горизонтальную ось занимают вещественные числа (x), а вертикальную ось – мнимые числа (y). На такой плоскости число задается двумя координатами z = {x, y}. В полярной системе координат координатами точки являются модуль и довод. Модулем называют расстояние |z| от точки до начала координат. Доводом называют угол ? между вектором, соединяющим точку и предисловие координат и горизонтальной осью системы координат (см. рисунок).
2. Из рисунка видно, что модуль комплексного числа z = x + i * y находится по теореме Пифагора: |z| = ? (x^2 + y^2). Дальше довод числа z находится как острый угол треугольника – через значения тригонометрических функций sin, cos, tg:sin ? = y / ? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y / x.
3. Скажем, пускай дано число z = 5 * (1 + ?3 * i). Первым делом выделите вещественную и мнимую части: z = 5 +5 * ?3 * i. Получается, что вещественная часть x = 5, а мнимая часть y = 5 * ?3. Вычислите модуль числа : |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Дальше обнаружьте синус угла ?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Отсель получается довод числа z равен 30°.
4. Пример 2. Пускай дано число z = 5 * i. По рисунку видно, что угол ? = 90°. Проверьте это значение по формуле, приведенной выше. Запишите координаты данного числа на комплексной плоскости: z = {0, 5}. Модуль числа |z| = 5. Тангенс угла tg ? = 5 / 5 = 1. Отсель следует, что ? = 90°.
5. Пример 3. Пускай нужно обнаружить довод суммы 2-х комплексных чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. По правилам сложения складываете эти два комплексных числа : z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Дальше по приведенной выше схеме рассчитываете довод: tg ? = 9 / 3 = 3.
Обратите внимание!
Если число z = 0, то значение довода для него не определено.
Полезный совет
Значение довода комплексного числа определяется с точностью до 2 * ? * k, где k – всякое целое число. Значение довода ? такое, что –? < ? ? ? именуется основным значением довода.
