Как написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую
Вопрос относится к аналитической геометрии. При этом допустимы две обстановки. Первая из них простейшая, относящаяся к прямым на плоскости. Вторая задача, относится к прямым и плоскостям в пространстве. Читателю следует иметь представление о простейших способах векторной алгебры.
Инструкция
1. 1-й случай. Дана прямая у=kx+b на плоскости. Требуется обнаружить уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через точку M(m, n). Уравнение этой прямой ищите в виде y=cx+d. Используйте геометрический толк показателя k. Это тангенс угла наклона ? прямой к оси абсцисс k=tg?. Тогда с=tg(?+?/2)=-ctg?=-1/tg?=-1/k. На данный момент обнаружено уравнение перпендикулярной прямой в виде y=-(1/k)x+d, в котором осталось уточнить d. Для этого используйте координаты заданной точки М(m, n). Запишите уравнение n=-(1/k)m+d, из которого d=n-(1/k)m. Сейчас дозволено дать результат y=-(1/k)x+n-(1/k)m. Существуют и другие виды уравнений плоской прямой. Следственно есть и другие методы решений. Правда, все они легко преобразуются друг в друга.
2. Пространственный случай. Пускай знаменитая прямая f задана каноническими уравнениями (если это не так, приведите их к каноническому виду). f: (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p, где М0(x0, y0, z0) – произвольная точка этой прямой, а s={m,n,p} – ее направляющий вектор. Заданная точка М(a,b,c). Вначале обнаружьте плоскость ?, перпендикулярную прямой f, содержащую М. Для этого используйте одну из форм всеобщего уравнения прямой A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)=0. Ее направляющий вектор n={A,B,C} совпадает с вектором s (см. рис. 1). Следственно n={m,n,p} и уравнение ?: m(x-a)+n(y-b)+p(z-c)=0.
3. Сейчас обнаружьте точку М1(x1,y1,z1) пересечения плоскости ? и прямой f путем решения системы уравнений (x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p и m(x-a)+n(y-b)+p(z-c)=0. В процессе решения возникнет идентичная для всех желанных координат величина u= [m(x0-a)+n(y0-b)+p(z0-c)]/(m^2+n^2+p^2). Тогда решение x1=x0-mu, y1=y0-nu, z1=z0-pu.
4. На этом шаге поиска перпендикулярной прямой ?, обнаружьте ее направляющий вектор g=M1M={x1-a,y1-b,z1-c}={х0-mu-a,y0-nu-b,z0-pu-c}. Положите координаты этого вектора m1=х0-mu-a, n1=y0-nu-b, p1=z0-pu-c и запишите результат ?: (x-a)/(х0-mu-a)=(y-b)/(y0-nu-b)=(z-c)/(z0-pu-c).
